V. Підведення підсумків уроку

Хід уроку

І. Організаційний момент: перевірка присутніх на уроці та оголошення теми уроку.

ІІ. Самостійна робота:

Варіант 1

1. Побудуйте графік функції у = sin х на проміжку [0; 2π] та знайдіть:

а) значення у, якщо х = ;

б) значення х, якщо у = -1. (3 бали)

2. Знайти значення sin та cos 12π. (3 бали)

3. Виразіть в радіанній мірі кути: 540^о, 720^о. (3 бали)

4. Знайдіть значення tg і ctg для числа . (3 бали)

Варіант 2

1. Побудуйте графік функції у = cos х на проміжку [0; 2π] та знайдіть:

а) значення у, якщо х = ;

б) значення х, якщо у = -1. (3 бали)

2. . Знайти значення sin та cos 13π. (2 бали)

3. Виразіть в радіанній мірі кути: 1080^о, 1260^о (3 бали)

4. Знайдіть значення tg і ctg для числа · (3 бали)

ІII. Мотивація навчання.

Дуже часто при розв'язуванні задач виникає проблема: зна­йти значення тригонометричних функцій, якщо задано лише зна­чення однієї з них. Отже, на сьогоднішньому уроці ми повинні згадати формули (залежності), які пов'язують тригонометричні функції одного і того самого аргументу.

IV. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

1. Співвідношення між синусом і косинусом.

Нехай точка Ρ_α(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р₀(1; 0) на кут α радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у = sin α (рис. 100)

Оскільки точка Р_α(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х² + у² = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos α і sin α , отримаємо:

(cos α)² + (sin α)² = 1 або (враховуючи, що (cos α)² = cos²α, (sin α)² = sin² α)) cos² α + sin² α = 1.

Таким чином, sin² α + cos² α = l для всіх значень α. Ця рівність називається основною триго­нометричною тотожністю.

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin α через cos α і навпаки. , .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) cosα = і sinα = ; б) sinα = - і cosα = - ; в) sinα = і cosα = - .

при одному і тому самому значенні α?

Відповідь: а) ні; б) так; в) так.

2. Знайдіть cos α, якщо sin α = 0,6 і < α < π. Відповідь: cos α = -0,8.

3. Знайдіть sin α, якщо cos α = і < α < 2π. Відповідь: sin α = - .

4. Спростіть вирази:

а) 1 + sin² α + cos² α; б) 1 – sin² α – cos² α; в) 2sin² α + cos² α – 1;

г) (1 – cos α)(l + cos α); д) ; є) sin⁴ α – cos⁴ α + 1.

Відповідь: а) 2; 6) 0; в) sin² α; r) sin² α; д) tg²α; є) 2sin²α.

5. Доведіть тотожності:

а) (1 – cos 2α)(l + cos 2α) = sin² 2α; 6) cos⁴ α – sin⁴ α = cos² α – sin² α;

в) (sin² α – cos² α)² + 2cos²α sin²α = sin⁴ α + cos⁴ α;

r) 2cos²α sin²α + cos⁴α + sin⁴α = 1; д) sin⁶ α + cos⁶ α = 1 – 3sin²α cos²α;

є) .

6. Знайдіть cos α, якщо cos⁴ α – sin⁴ α = .

Відповідь: cosα = ± .

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом. Згідно з визначенням тангенса і котангенса

, .

Перемноживши ці рівності, одержимо

Отже, tgα · ctgα = l для всіх значень α, крім α = , k, k Ζ. із одержаної рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки: ; .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) tg α = і ctgα = ; б) tgα = і ctgα = ; в) tg α = - і ctg α = 2

при одному і тому самому значенні α?

Відповідь: а) так; б) ні; в) ні.

2. Знайдіть

а) tg α, якщо ctg α = ; б) ctg α, якщо tg α = -1; в) tg α, якщо ctg α = 0.

Відповідь: а) ; б) -1; в) не існує.

3. Дано: х = 2tg α, у = ctg α. Знайдіть ху.

Відповідь: ху = .

4. Дано tg α + сtg α = 2. Знайдіть tg ² α + сtg² α.

Відповідь: 2.

5. Спростіть:

а) tg α · сtg α – 1; б) sin² α – tg α · сtg α; в) tg 1° · tg 3° · tg 5° · ... · tg 89°.

Відповідь: а) 0; б) – соs α; в) 1.

6. Доведіть тотожності:

а) (tg α + сtg α)² - (tg α - сtg α)² = 4; б) ;

в) ; г) ;

є) 4 + (сtg α - tg α)² = (сtg α + tgα)².

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і си­нусом.

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на соs²α, вважаючи, що соs²α ≠ 0, одержимо:

; ,

звідси: , де .

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на sіn² α, вважаючи, що sіn α ≠ 0, одержимо

; ,

звідси: , де .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності.

а) tg α = і соs α = ; б) сtg α = 1 і sіn α = ; в) tg α = і sіn α = при одному і тому ж значенні α?

Відповідь: а) ні; б) так; в) ні.

2. Відомо, що tg α = 2 і . Знайдіть sіn α, соs α і сtg α.

Відповідь: sіn α = ; соs α = ; сtg α = .

3. Відомо, що sіn α = і 0 < α < . Знайдіть соs α, tg α, сtg α.

Відповідь: соs α = ; tg α = ; сtg α = .

4. Відомо, що сtg α = -3 і α — кут IV чверті. Знайдіть sіn α, соs α, tgα.

Відповідь: sіn α = ; соs α = ; tg α = .

5. Відомо, що соs α = і α — кут І чверті. Знайдіть sіn α, tg α, сtg α.

Відповідь: sіn α = ; tg α = ; сtg α = .

6. Спростіть вираз:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) .

Відповідь: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) ; є) tg α.

7. Доведіть тотожності:

а) ; б) (1 – сtg α)² + (1 + сtg α)² = ;

в) ; г) .

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ IІ § 7 ст. 120-125. Вправи № 32 (а, б, в, д), № 36 (а).