Счетными множествами называются равномощные множества натуральных чисел

Отношение эквивалентности и порядка. Теорема об отношении эквивалентности.

N-арным отношением множества М есть множество G⊂Мⁿ

1^о рефлексивность; отношение G на множестве М называется рефлексивным если ¥V a є M (а,а) є G

антирефлексивность; если ¥V a є M (а,а) G

2^о симметричность; отношение G на множестве М называется симметричным если (a,b) є G=> (b,a) є G

антисимметричность; если (a,b) є G, (b,a) є G невозможно или a=b

3^о транзетивность; отношение G на множестве М называется транзетивным если (a,b) є (b,c) є G => (a,c) є G

G на M называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзетивно a ~ b

Теорема: Пусть G эквивалентно на М, тогда m=UM_i, где M_i не пересекает a,b є M_i <=> a~b

Док: G_a={b:a~b}

1 U G_a =M т.к. a~a, a є G_a

2 G_a∩G_b≠0 => Ga=G_b

Пусть с є G_a∩G_b , d є G_a, a~d, a~c, b~d?

b~c, c~a => b~a, a~d => b~d => G_a⊂G_b

3 c~d, d є G_c, c є G_c

4 c,d є G_a c~a, d~a, c~a, a~d => c~d

Отношение G называют нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзетивно.

C\{(a,a):a є M}

Отношение G называют строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзетивно.

CU{(a,a):a є M}

Взаимно однозначные и обратные отображения.

Отображением f(A) в B сопоставляют некий элемент А в В.

Взаимно однозначное отображение

f: A -> B если f(A)=B

f(a₁)=f(a₂)=>a₁=a₂

(fog)(a₁)=(fog)(a₂)

g(f(a₁))=g(f(a₂)) f(a₁)=f(a₂) a₁=a₂

Обратное отображение

f:A->B g:B->A если fog=iA, gof=iB => g=f ^-1

f ^-1=g ^-1 (fog)^-1=g ^-1of ^-1

(fog)^-1*(g ^-1of ^-1)=fo(gog ^-1)of ^-1=(foi_B)of ^-1=fof ^-1=i_A

Теорема: обратное отображение существует если взаимоотображение взаимнооднозначно f имеет f ^-1

1 fof ^-1=i_A f ^-1of=i_B

(f ^-1of)(b)=b

f(f ^-1(b))=b

f(a)=b

2 f(a₁)=f(a₂) f ^-1(f(a₁))=f ^-1(f(a₂)) a₁=a₂

Равномощность как отношение эквивалентности.

А и В называются равномощными если существует взаимно однозначное отображение f: A->B

Теорема: равномощными отношениями являются эквивалентные множества на некоторой совокупности множеств

1 рефлексивность i_A: A->A

2 симметричность f:A->B

З f ^-1: B->A взаимно однозначны

3 транзетивность f:A->B

g:B->C fog: A->C взаимно однозначны

5. Мощность А не превосходит мощности В, если З В₁<В, что |А|=|В₁|

Теореме: Отношение мощности А не превосходит мощности В, если отношение не строгого порядка на классах эквивалентному множеству

1 рефлексивность A₁⊂A, A₁=A

2 симметричность мощность А не превосходит мощности В и В не превосходит А => |A|=|B|

3 транзетивность мощность А не превосходит В, мощность В не превосходит С С₂=g(В₁) fog: A->C₂ взаимно однозначны

мощность |A|<|B|, если |А|<=|В|, |А|≠|В|

Конечные и бесконечные множества

Множество {x} будем называть конечным или бесконечным в зависимости от того, является ли число элементов, входящих в состав этого множества, конечным или бесконечным.

Теорема: |N|<=|[0,1)|

1 |N|<=|[0,1]|

1 ->0.10…

2->0.010…

3->0.0010…

2 |N|≠|[0,1)|

f:N->[0,1]

f(1)=0,a₁₁a₁₂…a_1n

f(2)=0,a₂₁a₂₂…a_2n

f(n)=0,a_n1a_n2…a_nn

b₁={1, a₁₁≠1 b₂={1, a₂₂≠1

{2,a₁₁=1 {2,a₂₂=1

0,b₁b₂…b_n

Счетными множествами называются равномощные множества натуральных чисел.

Пусть А счетное множество, тогда f:N->A

f(1)=a₁

f(n)=a_n

A={a₁,a₂,…,a_n}

1 во всяком бесконечном множестве существует счетное подмножество

2 Всякое бесконечное подмножество счетного множества является счетным

3 Объединение четного семейства множеств является счетным множеством

4 А бесконечное множество, В счетное множество, тогда |АUВ|=|А|