Виконання в пакеті STATiSTICA

Будемо виконувати в модулі Basic Statistics and Tables (можна виконувати також в модулі ANOVA/MANOVA). Створимо таблицю з двома стовпцями Р і Т і 30 рядочками; в Р занесемо дані по продуктивності, в Т - рівні Т: технології Т0, Т1, Т2. Дальше виконаємо:

One - Way ANOVA (Analys Of Variances) - Analysis: Detailed Analysis Of Individual tables, Variabbles: Grouping variabbles (групуючі змінні): T, Dependent variabbles (залежні змінні - відгуки): P - OK - OK - відмітивши Statistics: Number of observations (кількість спостережень), Standart deviations (стандартні відхилення) і Variances (дисперсії), отримаємо Summary table of means (таблицю средніх); видно, як відрізняються середні в кожній з груп (при фіксованому рівні фактора Т) - Повертаємося у вікно Descriptive Stats and ... Results і виконуємо Analysis of Variance - Спостерігаємо таблицю: в стовпці SS (Sum of Squares) Effect вказана сума квадратів (4), помножена на (k - 1), df = 2 = k - 1 - число ступенів свободи, MS (Mean Square) = 839.0 - оцінка (4), SS = 2711 - сума квадратів (3), помножена на (N - k), df = 27 = N - k, Ms Error = 100.4 - оцінка (3), F = 8.35 - значення статистики (5), p = 0.0015 - ймовірність в (7); остання дуже мала, щоб повірити в істинність гіпотези Н про відсутність впливу фактора Т. Висновок: фактор Т (технологія) впливає на Р (продуктивність).

Виникає питання: які технології можна прочитати значущо різними? Для відповіді на це питання повертаємося у вікно Descriptive Stats and ... Results і виконуємо Post - hoc comparasion of means (порівняння середніх) по методу Шеффе Sheffe test. Спостерігаємо таблицю, в якій вказані рівні значущості гіпотез про рівність середніх для всіх пар рівнів фактора Т; бачимо, що технології Т0 і Т1 слід вважати відмінними (ймовірність 0.0015 занадто мала, щоби повірити в равність середніх по Т0 і Т1).

Двохфакторний дисперсійний аналіз

Основні співвідношення. Вивчається вплив, який створюють дві якісні ознаки (фактори A і B ) на деякий кількісний результат (відгук). Дуже типова ситуація, коли другий фактор (фактор B) заважає: він включається в розгляд із тієї причини, що заважає знайти і оцінити вплив фактора A.

Нехай фактор A має k рівнів A₁, ..., A_k , а фактор B - n рівнів B₁,...,B_n . Вважається, що величина x що вимірюється є результатом дії факторів A і B і випадкової складової e :

Приймається аддитивна і незалежна модель дії факторів:

, (6.10)

причому

, . (6.11)

Останні дві умови завжди можна виконати суміщенням величин a_j і b_i і зміною величини c; величини a_j і b_i називаються вкладами факторів. Отже, передбачається, що є сукупність спостережень

x_ij=c+a_j+b_i+e_ij , i=1, ..., n; j =1, ..., k, (6.12)

e_ij - незалежні, нормально N(0,s²) розподілені випадкові величини. Спостереження можна представити у вигляді таблиці 6.2 (в даному випадку – найпростішій, оскільки кожному поєднанню (A_j, B_i) рівні факторів, тобто одній клітинці таблиці, відповідає одне спостереження; в загальному випадку декількох спостережень при аналізі виникають незначні ускладнення.

В таблиці ( )^ означає оцінку. По наявних спостереженнях вимагається перевірити припущення про відсутність впливу фактора A (чи B) на результат вимірювання, тобто перевірити гіпотезу

H_A: a₁= a₂ = . . . = a_k = 0 (6.13)

Основою процедури перевірки гіпотези є порівняння двох статистично незалежних оцінок дисперсії s² . Одна із них, s^2*оцінює дисперсію незалежно від того, вірна чи ні H_A. Друга, s^2**оцінює дисперсію, якщо H_A вірна; якщо ж H_A не вірна, то вона має тенденцію приймати збільшені значення.

Таблиця 6.2

Фактор B	Фактор A A1 A2 ... Ak	Середні по рядках (оцінки вкладів B)
B1 B2 Bn	x1 x12 ... x1k x21 x22 ... x2k xn1 xn2 ... xnk	x1·=(c+b1)^ x2·=(c+b2)^ xn·=(c+bn)^
Середні по стовпцях (оцінки вкладів A)	x·1= x·2= x·k= (c+a1)^ (c+a2)^ c+ak)^	x··=c^

Побудова процедури перевірки гіпотези.Оптимальна в класі незміщених оцінок оцінка s^2* може бути отримана за допомогою метода найменших квадратів. Оцінимо c, b_i, a_j мінімізацією суми

(6.14)

при умові , . Оцінки

, , (6.15)

Остаточна сума квадратів

як відомо, розподілена по закону хі-квадрат (з точністю до множителя s²) з числом степенів r = nk - (n-1) - (k-1) -1= (n-1)(k-1). Оцінка

(6.17)

Для отримання другої оцінки, незалежної від s^2*, розглянемо x_·1,...,x_·k - k незалежних випадкових величин, де x_·j розподілена по N(c+a_j, s²/n). Якщо H_A вірна, то ці випадкові величини розподілено одинаково по N(c_j, s²/n), і незміщеною оцінкою для дисперсії s²/n є

, .

Якщо позначити

(6.18)

- суму квадратів різниці “між стовпцями”, тобто по рівнях фактора A (розсіювання по фактору A), то

, (6.19)

причому розподілена по закону хі-квадрат з (k-1) ступенями свободи; відповідно Q_A ~ s²c²_{k - 1}. Якщо H_A не вірна, то, як неважко показати, Q_A/s²має нецентральне розоділення хі-квадрат з (k -1) степенями свободи і параметром нецентральності .

Якщо гіпотеза H_A вірна, то відношення

має F - розподіл Фішера з (k -1) і r степенями свободи. Якщо

F_A ³ F_1-a , (6.20)

де F_1-a - квантиль цього розподілу порядку 1-a, a - вибраний рівень значимості, то гіпотеза H_A відхиляється. Замість (20) можна використовувати еквівалентну процедуру: гіпотеза H_A відхиляється, якщо

P{ F ³ F_A } £ a;(6.21)

P{ F ³ F_A } - ймовірність при справедливості H_A отримає значення F_A чи більше; F - випадкова величина, що має розподіл Фішера.