Сложность 3-. Вписанные и центральные углы.

Г.

Кл.

1. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C - прямой) провели медиану СМ. В треугольнике ВСМ провели высоту MD. В треугольнике BMD провели медиану DK. Найдите DK, если АВ равно 16.

2. О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Докажите, что в треугольнике есть угол 20 градусов, если угол АОВ равен 100 градусам.

3. PK - касательная, а PM - секущая окружности, описанной около треугольника KLM (L лежит на MP). KD - биссектриса треугольника KLM. Доказать, что треугольник PKD - равнобедренный.

4. О - центр описанной около треугольника KLM окружности. KH - высота треугольника KLM. Доказать, что углы LKH и OKM равны.

5. На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD выбрали точки Е и F, соответственно. Отрезки BF и AE пересекаются в точке G, отрезки ED и CF пересекаются в точке H. Известно, что площади треугольников BGE, EHC, AGF равны 4, 3 и 2, соответственно. Найдите площадь треугольника FHD.

6. Медиана KD треугольника KLM делит угол K на два угла, равных 30 и 45 градусов. Найдите KL, если KM = 7.

7. Окружности w1 и w2 касаются внутренним образом (w2 внутри w1) в точке N. Тоски K и M выбраны на окружности w1 так что KM – касательная к окружности w2 (Q – точка касания). Доказать, что NQ – является биссектрисой угла KNM.

8. Угол L равнобедренного треугольника KLM равен 100 градусам, KP – биссектриса. Докажите, что LP + KP = KM.

Решения.

Сложность 2-. Медиана, проведенная на гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C - прямой) провели медиану СМ. В треугольнике ВСМ провели высоту MD. В треугольнике BMD провели медиану DK. Найдите DK, если АВ равно 16.

Решение. Треугольник BMD – прямоугольный, BM = 8. По свойству медианы, проведенной из прямого угла, DK = ½ BM = 4.

2. Сложность 2+. Внешний угол, сумма углов треугольника.

О - центр вписанной в треугольник АВС окружности. Докажите, что в треугольнике есть угол 20 градусов, если угол АОВ равен 100 градусам.

Доказательство. Заметим, что О лежит на биссектрисах углов треугольника АВС. Пусть АМ и ВК – биссектрисы треугольника АВС. Тогда углы КОА и МОВ равны по 80 градусов. Пусть угол КАО равен х, а угол МВО равен t. Тогда угол СКО равен х + 80, а угол СМО равен t + 80. Следовательно, угол МСК равен 360 – 100 – x – t – 160 = 20.

3. Сложность 2+. Внешний угол, угол между касательной и хордой.

PK - касательная, а PM - секущая окружности, описанной около треугольника KLM (L лежит на MP). KD - биссектриса треугольника KLM. Доказать, что треугольник PKD - равнобедренный.

Доказательство. Углы PKL и LMK равны (угол между касательной и хордой). Имеем:

(внешний угол треугольника KMD, KD - биссектриса). Следовательно, треугольник PKD – равнобедренный.

Сложность 3-. Вписанные и центральные углы.

О - центр описанной около треугольника KLM окружности. KH - высота треугольника KLM. Доказать, что углы LKH и OKM равны.

Доказательство. Достаточно показать, что углы OKD и MKH равные. Заметим, что треугольники OKD и MKH – прямоугольные. OD – серединный перпендикуляр, поэтому OD – биссектриса треугольника KOL. Осталось заметить, что углы KOL и KML являются центральным и вписанным углом, опирающимися на одну и ту же дугу. Отсюда, следует равенство углов KOD и KMH, а значит, углов OKD и MKH.