Критерии согласия. Проверка гипотез о виде функции

Распределения

В одних случаях закон распределения может быть установлен теоретически на основании выбранной модели рассматриваемого процесса. В других случаях функцию распределения выбирают априорно. Однако для получения надёжных решений вероятностных задач в каждом отдельном случае необходима проверка соответствия опытных данных используемому закону распределения.

Наиболее простым, но весьма приближённым методом оценки согласия результатов эксперимента с тем или иным законом распределения является графический метод. Опытные данные сравнивают с графиком принятой функции распределения. Если экспериментальные точки ложатся вблизи кривой со случайными отклонениями влево и вправо, то опытные данные соответствуют рассматриваемому закону. Данный способ является субъективным и используется на практике лишь в качестве первого приближения.

Критерий согласия Пирсона (χ²)применяют для проверки гипотезу о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению при большом объёме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функций, даже при неизвестных значениях их параметров.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Число интервалов зависит от объёма выборки. Обычно принимают: при n = 100 e = 10 … 15, при n = 200 e = 15 … 20, при n = 400 e = 25 … 30, при n = 1000 e = 35 … 40.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений объединяют с соседними.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

χ² = , (3.30)

где p_j – вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-й интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределения. При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до –∞, а последний – до +∞.

Если выполняется неравенство

χ² ≤ χ²_α, (3.31)

при уровне значимости α и числе степеней свободы k = e – m – 1, (m – число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке, для нормального закона распределения m = 2), то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределения по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объёме выборки (n ≈ 100).

Пример 3.9. Проверить с помощью критерия согласия χ² гипотезу о нормальном распределении данных в примере 2.2. Принять уровень значимости α = 0,05.

Оценка вероятности попадания значения характеристики в интервал (6-ой столбец) представляет собой разность значений функций Лапласа на правой и левой границе интервала. Если интервалы объединяются, вычисляют разность значений функции на границах объединённого интервала. Сумма чисел p_j в 6 столбце всегда будет равна единице. Сумма в 7 столбце должна равняться сумме в 3-м столбце.

Таблица 3.6

j	Границы интервала xj	Число наблюдений nj	Координаты границ интервалов =	Значение функции Лапласа на границе интервала Ф( )	Оценка вероятности попадания в интервал pj	npj
	5,825; 5,975		–∞; –1,24	0,000; 0,1075	0,1075	10,75	0,984
	5,975; 6,125
	6,125; 6,275		–1,24; –0,76	0,1075; 0,2236	0,1161	11,61	0,223
	6,275; 6,425		–0,76; –0,29	0,2236; 0,3859	0,1623	16,23	0,643
	6,425; 6,575		–0,29; 0,19	0,3859; 0,5753	0,1894	18,94	0,224
	6,575; 6,725		0,19; 0,67	0,5753; 0,7486	0,1733	17,33	0,006
	6,725; 6,875		0,67; 1,14	0,7486; 0,8729	0,1243	12,43	0,198
	6,875; 7,025		1,14; 1,61	0,8729; 0,9463	0,0734	7,34	0,244
	7,025; 7,175		1,61; ∞	0,9463; 1,0000	0,0537	5,37	0,025
	7,175; 7,325
	7,325; 7,475
Сумма		–	–	1,0000		χ2 = 2,547

Для α=0,05 и k = 8 – 2 –1 = 5(8 – число интервалов после объединения, 2 – число параметров, оцениваемых по выборке ( , s))

χ² = 2,547 < χ²_0,05 =11,1

Заключение: опытные данные не противоречат нормальному закону распределения.

Таблица 3.7 – Значение нормированной функции нормального распределения (функции Лапласа)

z	Сотые доли z
0,0	0,50000*
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0						–	–	–	–	–
Примечание. Ф(–z) = 1 – Ф(z) * У всех остальных значений функции Лапласа разряд целых также равен нулю, и поэтому в таблице приведены только десятичные знаки

Приложение А