Поняття про диференційне рівняння. Задача Коші

ЛЕКЦІЯ № 9

ЧИСЛОВЕ ІНТЕГРУВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Поняття про диференційне рівняння. Задача Коші

Диференціальні рівняння широко застосовуються для математичного моделювання процесів і явищ в різних галузях науки і техніки. Перехідні процеси в електротехнічних ланцюгах, рух космічних об’єктів, кінетика хімічних реакцій і т. д. досліджуються за допомогою диференціальних рівнянь.

Нагадаємо, що рівняння, в якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням. Наприклад,

Якщо невідома функція, яка входить до диференціального рівняння, залежить тільки від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Наприклад,

Якщо ж невідома функція, що входить до диференціального рівняння, є функцією двох або більшої кількості незалежних змінних, то диференціальне рівняння називається рівнянням в частинних похідних.

Так, диференціальне рівняння

є рівнянням в частинних похідних.

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить до рівняння.

Так, наприклад, рівняння

є рівняння другого порядку, а рівняння

– першого порядку.

Найпростішим звичайним диференціальним рівнянням є рівняння першого порядку наступного вигляду

. (9.1)

Основна задача, пов’язана з цим рівнянням, відома як задача Коші: знайти розв’язання рівняння (9.1) у вигляді функції , яка задовольняє початковій умові

(9.2)

Геометрично це означає (рис. 9.1), що треба знайти інтегральну криву що проходить через задану точку при виконанні рівності (9.1). Доведено, що рішення існує і воно є єдиним.

Теорема Пікара. Якщо функція f визначена і неперервна в деякій області G та визначається нерівностями

(9.3)

а також задовольняє в цій області умові Ліпшиця по у:

то на деякому відрізку де h – додатне число, існує, і притому тільки єдине, рішення рівняння (9.1), що задовольняє початковій умові

Тут М – стала величина (константа Липшиця), яка залежить в загальному випадку від а і b. Якщо має обмежену в G похідну , то при можна прийняти

(9.4)

В класичному аналізі розроблено чимало прийомів знаходження рішень диференційних рівнянь через елементарні (або спеціальні) функції. Але дуже часто при розв’язанні практичних задач ці методи виявляються зовсім безпорадними, або їх розв’язання пов’язано з неприпустимими витратами зусиль і часу.

За цією причиною для розв’язання задач практики створені методи наближеного розв’язання диференціальних рівнянь. Вельми умовні ці методи можна розділити на три групи.

1. Аналітичні методи, застосування яких дає розв’язання диференціального рівняння у вигляді аналітичного виразу.

2. Графічні методи, які дають наближене рішення у вигляді графіка.

3. Числові методи, коли шукана функція виходить у вигляді таблиці.

Далі будуть розглядатися деякі методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку вигляду (9.1).

Що стосується диференціальних рівнянь n-го порядку

для яких задача Коші, пов’язана з находженням рішення , що задовольняє початковим умовам

де – задані числа, то їх можна звести до системи диференціальних рівнянь першого порядку. Так, наприклад, рівняння другого порядку

можна записати у вигляді системи двох рівнянь першого порядку:

Методи розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь базується на відповідних методах розв’язання одного звичайного диференціального рівняння.

Метод Пікара

Метод Пікара дозволяє отримати наближене рішення диференціального рівняння (9.1) у вигляді функції, що подається аналітично. Метод Пікара виник у зв’язку з доведенням теореми існування та єдності рішення рівняння (9.1) і є, по суті, одним із застосувань принципу стискуючих відображень.

Нехай в умовах теореми треба знайти рішення рівняння (9.1) з початковою умовою (9.2). Проінтегруємо обидві частини рівняння (9.1) від х₀ до х:

або

(9.5)

Зрозуміло, рішення інтегрального рівняння (9.5) буде задовольняти диференціальному рівнянню (9.1) і початковій умові (9.2). Дійсно, при х = х₀ отримуємо

Разом з цим інтегральне рівняння (9.5) дозволяє застосувати метод послідовних наближень. Візьмемо у = у₀ і отримаємо з (9.5) перше наближення:

Інтеграл в правій частині містить тільки змінну х; після знаходження цього інтегралу буде отримано аналітичний вираз наближення як функції змінної х. Замінимо тепер в рівнянні (9.5) у найденим значенням і отримаємо друге наближення:

і т. д. У загальному випадку ітераційна формула має вигляд:

(9.6)

Циклічне застосування формули (9.6) дає послідовність функцій

(9.7)

Оскільки функція f неперервна в області G, то вона обмежена в деякій області , що містить точку тобто

(9.8)

Застосовуючи до рівняння (9.6) в умовах теореми існування принцип стискаючих відображень, неважко показати, що послідовність (9.7) є збіжною. Її ліміт є розв’язанням інтегрального рівняння (9.6), а отже, і диференціального рівняння (9.1) з початковою умовою (9.2). Це означає, що k-й член послідовності (9.7) є наближенням до точного рішення рівняння (9.1) з визначеним ступенем точності.

Оцінка похибки k-го наближення дається формулою

де М – константа Ліпшиця (9.4), N – верхня грань модуля функції f із нерівності (9.8), а величина d для визначення околу розраховується за формулою

Метод Ейлера

В основі методу ламаних Ейлера лежить ідея графічної побудови рішення диференціального рівняння, проте цей метод надає одночасно і спосіб знаходження шуканої функції в числовій (табличній) формі.

В околі точки х₀ функцію розкладемо в ряд Тейлора

(9.9)

який можна застосувати для наближеного визначення шуканої функції . В точці при малих значеннях кроку h можна обмежитися двома членами ряду (9.9), тоді

де – нескінченно мала величина порядку .

Замінимо похідну , що входить до формули (9.9), на праву частину рівняння (9.1), будемо мати

(9.10)

Тепер наближене рішення в точці можна знову розглядати як початкову умову і за формулою (9.10) знайти значення шуканої функції в наступній точці . В результаті отримано простіший алгоритм розв’язання задачі Коші, який називається методом Ейлера.

Підійдемо до цього методу з дещо іншого боку – з боку геометричної інтерпретації. Нехай дано рівняння (9.1) з початковою умовою (9.2). Вибравши достатньо малий крок h, побудуємо, починаючи з точки х₀, систему рівновіддалених точок . Замість шуканої інтегральної кривої на відрізку розглянемо відрізок дотичної до неї в точці (позначимо її L₁, рис. 9.2) з рівнянням .

При х = х₁ з рівняння дотичної L₁ отримуємо звідки видно, що приріст значення функції на першому кроці має вигляд:

Аналогічно провівши дотичну L₂ до деякої інтегральної кривої сім’ї в точці , отримаємо:

що при х = х₂ дає тобто у2 виходить з у1 додаванням приросту

Таким чином, отримання таблиці значень шуканої функції за методом Ейлера полягає в циклічному застосуванні пари формул:

Зазначимо, що метод Ейлера ще називають методом ламаних.

Методу Ейлера притаманна мала точність, до того ж похибка кожного нового кроку, взагалі кажучи, систематично зростає. Найбільш прийнятним для практики методом оцінки точності є в даному випадку спосіб подвійного рахунку – з кроком h і з кроком h / 2. Збіг десяткових знаків в отриманих двома способами результатах дає підстави вважати їх вірними.

Існують різні способи уточнення методу Ейлера, які дозволяють підвищити його точність. Модифікації методу спрямовані на те, щоб більш точно визначати напрямок переходу з точки в точку . Метод Ейлера – Коші, наприклад, рекомендує наступний порядок розрахунків:

Геометрично це означає, що визначається напрямок інтегральної кривої в вихідній точці до допоміжної точки , а остаточно береться середнє цих напрямків.