При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ре­ше­ние.

С уче­том на­цен­ки гор­шок ста­нет сто­ить 90 + 0,2 · 90 = 108 руб­лей. Раз­де­лим 1100 на 108:

Зна­чит, можно будет ку­пить 10 горш­ков.

Ответ: 10.

2.При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси — на­пря­же­ние в воль­тах.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое на­пря­же­ние будет в цепи через 2 часа ра­бо­ты фо­на­ри­ка. Ответ дайте в воль­тах.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что через два часа ра­бо­ты фо­на­ри­ка на­пря­же­ние в цепи будет 1,2 воль­та.

Ответ: 1,2.

3.Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

Ре­ше­ние.

Най­дем квад­рат ра­ди­у­са круга

Пло­щадь фи­гу­ры равна трем чет­вер­тым пло­ща­ди этого круга. По­это­му

см².

Ответ: 15.

4.На кон­фе­рен­цию при­е­ха­ли 4 уче­ных из Шве­ции, 4 из Рос­сии и 2 из Ита­лии. Каж­дый из них де­ла­ет на кон­фе­рен­ции один до­клад. По­ря­док до­кла­дов опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что чет­вер­тым ока­жет­ся до­клад уче­но­го из Шве­ции.

Ре­ше­ние.

Всего в се­ми­на­ре при­ни­ма­ет уча­стие 4 + 4 + 2 = 10 уче­ных, зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что уче­ный, ко­то­рый вы­сту­па­ет чет­вер­тым, ока­жет­ся из Шве­ции, равна

Ответ: 0,4.

5.Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Из­вле­кая ко­рень пятой сте­пе­ни из обеих ча­стей урав­не­ния, по­лу­ча­ем , от­ку­да .

6.Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол 120, впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са .

Ре­ше­ние.

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Ответ: 66.

7.На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = f (x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле ( −3; 11). Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f (x) на от­рез­ке [3; 10].

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка на­хо­дим что наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f (x) на от­рез­ке [3; 10] равно 3.

Ответ: 3.

8. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 6, а ос­но­ва­ние – пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той равен

.

Ответ: 24.

9.Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 9.

10.Мяч бро­си­ли под углом к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Время полeта мяча (в се­кун­дах) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле . При каком зна­че­нии угла (в гра­ду­сах) время полeта со­ста­вит 2,6 се­кун­ды, если мяч бро­са­ют с на­чаль­ной ско­ро­стью м/с? Счи­тай­те, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния м/с .

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях на­чаль­ной ско­ро­сти и уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния:

.

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние угла равно 90°.

Ответ: 90.

11.На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим – число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час пер­вый ра­бо­чий, тогда вто­рой ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­та­лей, . На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей, от­сю­да имеем:

.

Таким об­ра­зом, пер­вый ра­бо­чий де­ла­ет 25 де­та­лей в час

Ответ: 25.

12.Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: 9.

13.Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Ответ: .

14.В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка S — вер­ши­на. Точка M — се­ре­ди­на ребра SA, точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.

Ре­ше­ние.

Про­ведём из точки пер­пен­ди­ку­ляр к Тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, — се­ре­ди­на — сред­ней линии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, точка яв­ля­ет­ся также се­ре­ди­ной вы­со­ты Пря­мая па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей и Сле­до­ва­тель­но, — ис­ко­мый ли­ней­ный угол. Найдём

Зна­чит,

Ответ:

15.Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ние.

Пусть тогда

Введём за­ме­ну решим квад­рат­ное не­ра­вен­ство:

Вернёмся к пе­ре­мен­ной

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

16.В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AD и CE. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим Тогда по свой­ству бис­сек­три­сы: и от­ку­да

По­лу­ча­ем:

Зна­чит, Тогда

Ответ:

17.Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на 2 млн руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад будет мень­ше 15 млн руб­лей.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­во­на­чаль­ный вклад равен S млн руб­лей. Тогда в конце пер­во­го года вклад со­ста­вит 1,1S, а в конце вто­ро­го — 1,21S. В на­ча­ле тре­тье­го года вклад со­ста­вит 1,21S + 2, а в конце — 1,331S + 2,2. В на­ча­ле четвёртого года вклад со­ста­вит 1,331S + 4,2, а в конце — 1,4641S + 4,62.

По усло­вию, нужно найти наи­боль­шее целое S, для ко­то­ро­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

от­ку­да Наи­боль­шее целое ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства — число 7. Зна­чит, раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да со­став­ля­ет 7 млн руб­лей.

Ответ: 7 млн руб­лей.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ясно, что пер­во­на­чаль­ный вклад не мог рав­нять­ся 11 млн руб., по­сколь­ку два­жды по­пол­нял­ся на 2 млн руб., но остал­ся мень­ше 15 млн руб. Не мог он быть рав­ным и 10 млн руб., по­сколь­ку по­пол­не­ние та­ко­го вкла­да на 10% уве­ли­чи­ва­ет его на мил­ли­он, а за 4 года было 4 таких по­пол­не­ния. Ана­ло­гич­но про­ве­ряя 9, 8 и 7 млн руб­лей, убе­дим­ся, что наи­боль­шим воз­мож­ным раз­ме­ром на­чаль­но­го вкла­да яв­ля­ет­ся 7 млн руб.

18.Най­ди­те все зна­че­ний a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Ре­ше­ние.

За­пи­шем пер­вое урав­не­ние в виде Ре­ше­ния пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы сов­па­да­ют с ре­ше­ни­я­ми урав­не­ний и при усло­вии

При урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при любом зна­че­нии a.

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид от­ку­да C учётом усло­вия по­лу­ча­ем, что при ре­ше­ний нет, а при

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид от­ку­да C учётом усло­вия по­лу­ча­ем, что при ре­ше­ний нет, а при имеет одно ре­ше­ние.

Опре­де­лим зна­че­ния a, при ко­то­рых воз­мож­ны сов­па­де­ния ре­ше­ний из трёх разо­бран­ных выше слу­ча­ев. Имеем: либо от­ку­да либо от­ку­да либо от­ку­да

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при имеет два ре­ше­ния при и , имеет три ре­ше­ния при и

Ответ:

19.Груп­пу школь­ни­ков нужно пе­ре­ве­зи из лет­не­го ла­ге­ря одним из двух спо­со­бов: либо двумя ав­то­бу­са­ми типа А за не­сколь­ко рей­сов, либо тремя ав­то­бу­са­ми типа В за не­сколь­ко рей­сов, при­чем в этом слу­чае число рей­сов каж­до­го ав­то­бу­са типа В будет на один мень­ше, чем рей­сов каж­до­го ав­то­бу­са типа А. В каж­дом из слу­ча­ев ав­то­бу­сы за­пол­ня­ют­ся пол­но­стью.

Какое мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство школь­ни­ков можно пе­ре­вез­ти при ука­зан­ных усло­ви­ях, если в ав­то­бус типа В вхо­дит на 7 че­ло­век мень­ше, чем в ав­то­бус типа А?

Ре­ше­ние.

Тип А: 2 ав­то­бу­са; n − рей­сов каж­дый; m + 7 − че­ло­век в ав­то­бу­се

Тип В: 3 ав­то­бу­са; n − 1 − рейс; m − че­ло­век

Сле­до­ва­тель­но надо найти де­ли­те­ли 42:

Если то по­лу­ча­ем а всего школь­ни­ков 504.

Если то школь­ни­ков 420;

Если то школь­ни­ков 420;

Если то школь­ни­ков 504;

Если то школь­ни­ков 540;

Если то школь­ни­ков 816;

Если то школь­ни­ков 1980.

Ответ: 1980.