Пример 4. Вероятность того, что судно в порту будет пополнять запас пресной воды равна 0,9.

Случайные события

глава XX §§1-6. часть 2, глава V§§1 -3.

глава 1§§1-5; глава 2 §§1-3; глава 3 §§1-5; глава 5 §§1-3.

Случайным событием называется такое событие, которое при испытании может произойти или не произойти.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: или .

Событие, наступление которого гарантируется условиями данного испытания, называется достоверным. Событие, которое не может наступить в условиях данного испытания, называется невозможным.

Обозначения: –достоверное событие, – невозможное.

Событие называется противоположным событию , если оно заключатся в том, что в результате испытания событие не наступает.

Событие называется суммой событий и , если оно заключатся в том, что наступает хотя бы одно из событий или (т.е. или событие , или событие , или событие и одновременно).

Событие называется произведениемсобытий и , если оно заключатся в том, что в результате испытания наступают оба события и .

События и называются несовместными, если невозможно их совместное наступление в одном испытании, то есть если

Аксиомы теории вероятностей:

Вероятность случайного события неотрицательна.

Вероятность достоверного события равна единице.

3. Если , то – вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Следствия из аксиом. I. ; 2. ;

3. ; 4. .

Формула классической вероятности Вероятность случайного события равна отношению числа исходов, благоприятных появлению события, к числу всех исходов испытания . (1)

Пример 1. Испытание: из урны, содержащей 6 белых и 4 черных (перемешанных) шаров, наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым.

Решение.

Общее число возможных исходов равно количеству шаров в урне: .

Исход испытания благоприятствует событию , когда извлечен один из шести белых шаров, следовательно благоприятных исходов . Тогда

или = 0,6.

Теоремы сложения и умножения

(2)

Если события несовместны (3)

Пусть . Условной вероятностью события при условии наступления события называется отношение:

. (4)

Если , т.е. , , то

события и называются независимыми.

(5)

Если события независимы (6)

Пример 2. Испытание: из урны, содержащей белых и черных шаров, наугад извлекается шар, после этого извлекается еще один шар. Найти вероятность события , которое заключается в том, что оба извлеченных шара окажутся белыми.

Решение. Введем события: — первый извлеченный шар окажется белым; — второй извлеченный шар окажется белым. Тогда . По формуле (5) .

По формуле (1) . Поскольку событие уже наступило, то в урне белых и черных шаров, так что . Тогда .

Пример 3. Три стрелка произвели залп. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,4, для третьего – 0,5. Найти вероятность того, что: а) все три стрелка попали в мишень; б) только один стрелок попал в мишень; в) только два стрелка попали в мишень; г) хотя бы один стрелок попал в мишень.

Решение. Введем следующие обозначения:

A₁ – первый стрелок попал в мишень,

A₂ – второй стрелок попал в мишень,

A₃ – третий стрелок попал в мишень,

Надо найти вероятности событий A, B,C,D,

A – три стрелка попали в мишень,

B – только один стрелок попал в мишень,

C – только два стрелка попали в мишень,

D – хотя бы один стрелок попал в мишень,

то есть P(A), P(B), P(C), P(D).

а)Событие A заключается в том, что одновременно произошли события A₁, A₂ и A₃, поэтому оно равно произведению событий A₁, A₂, A₃, т.е. A = A₁ × A₂ × A₃. Результат стрельбы каждого из стрелков не влияет на результаты других стрелков, поэтому события A₁, A₂ и A₃ независимые, и, следовательно

P(A₁×A₂×A₃) = P(A₁)×P(A₂)×P(A₃),

поскольку вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей

По условию P(A₁) = 0,3; P(A₂) = 0,4; P(A₃) = 0,5.

Следовательно,

P(A) = P(A₁×A₂×A₃) = P(A₁)×P(A₂)×P(A₃) = = 0,3×0,4×0,5 = 0,06.

б) Используя определение суммы событий, можно записать, что B = B₁ + B₂ + B₃, где B₁ – только первый стрелок попал в мишень, B₂ – только второй стрелок попал в мишень, B₃ – только третий стрелок попал в мишень.

События B₁, B₂, B₃ –несовместны, поэтому вероятность события B можно найти по третьей аксиоме теории вероятностей: вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей

P (B) = P (B₁+B₂+B₃) = P (B₁) + P (B₂) + P (B₃).

Событие B₁ заключается в том, что произошло A₁ и не произошли A₂ и A₃, поэтому, используя определение произведения событий можно записать B₁=A₁× ₂ × ₃ , где× _i - событие, противоположное событию A_i , состоящее в том, что событие A_i не произошло. Аналогично B₂= ₁×A₂× ₃, B₃= ₁× ₂×A₃.

Вероятности противоположных событий находим по формуле

(следствие 3 из аксиом)

P( ) = 1– P(A), (7)

P( ₁) = 1 – 0,3 = 0,7; P( ₂) = 1–0,4 = 0,6; P( ₃) = 1–0,5 = 0,5.

События A₁, A₂, A₃ – независимые, следовательно, будут независимы и события A₁, ₂, ₃, а тогда по формуле (6)

P(B₁)=P(A₁× ₂× ₃)=P(A₁)×P( ₂)×P( ₃) = 0,3×0,6×0,5 = 0,09.

Аналогично

P(B₂)= P( ₁)×P(A₂)×P( ₃) = 0,7×0,4×0,5 = 0,14;

P(B₃)=P( ₁)×P( ₂)×P(A₃) = 0,7×0,6×0,5 = 0,21;

Следовательно,

P(B) = P(B₁) + P(B₂) + P(B₃) = 0,09 + 0,14 + 0,21= 0,44

в) Событие C, состоящее в том, что только два стрелка попали в мишень можно записать так

C = C₁+C₂+C₃,

где C₁ – только первый и второй стрелки попали в мишень,

C₂ – только первый и третий стрелки попали в мишень,

C₃ – только второй и третий стрелки попали в мишень

События C₁,C₂,C₃ несовместны. Тогда

P(C) = P(C₁)+P(C₂)+P(C₃).

Аналогично предыдущему можно записать, что

C₁=A₁×A₂× ₃, C₂=A₁× ₂×A₃, C₃= ₁×A₂×A₃,

P(C₁)=P(A₁)×P(A₂)×P( ₃)=0,3×0,4×0,5=0,06,

P(C₂)=P(A₁)×P( ₂)×P(A₃)=0,3×0,6×0,5=0,09,

P(C₃)=P( ₁)×P(A₂)×P(A₃)=0,7×0,4×0,5=0,14.

Следовательно, P(C)=0,06+0,09+0,14=0,29.

г)При вычислении вероятности события D – хотя бы один стрелок попал в мишень – удобнее перейти к противоположному событию . Событие – заключается в том, что событие D не происходит, т.е. – ни один из стрелков не попал в мишень.

Событие заключается в том, что одновременно произошли события ₁, ₂ и ₃, т.е. = ₁× ₂× _3.

Результат стрельбы каждого из стрелков не влияет на результаты других стрелков, поэтому события ₁, ₂ и ₃ независимые, и, следовательно,

P( )=P( ₁)×P( ₂)×P( ₃)=0,7×0,6×0,5=0,21.

Для вычисления вероятности события D воспользуемся формулой (7)

P(D )= 1–P( ) = 1–0,21 = 0,79.

ОТВЕТ: а)0,06; б) 0,44; в) 0,29; г) 0,79.

Формула Бернулли

глава XX §§1-6. часть 2, глава V§§1 -3.

глава 1§§1-5; глава 2 §§1-3; глава 3 §§1-5; глава 5 §§1-3

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А равна p , то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), можно вычислить по формуле Бернулли

(10)

где q = 1 – p – вероятность того, что событие А не наступит в единичном испытании,

; , по определению, 0! = 1, 1! = 1.

Пример 4. Вероятность того, что судно в порту будет пополнять запас пресной воды равна 0,9.