Взаимное расположение прямых в пространстве

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства. Были приняты Евклидом.

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1. Через прямуюa и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
  Теорема 2. Через две пересекающиеся прямыеa и b проходит плоскость, и при том только одна.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (еслиa∥c и b∥c, то a∥b).   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru

Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru   Взаимное расположение прямых в пространстве - student2.ru  
Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Наши рекомендации