Порядок решения задачи на кручение
Пояснения к д.з.№2
КРУЧЕНИЕ
Кручение это такой вид нагружения бруса, при котором внутренние силы в его поперечных сечениях приводятся только к крутящему моменту Мк (рис.1).
Рис.1
ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРИ КРУЧЕНИИ
Применяем метод сечений по участкам. Рассматриваем часть бруса от свободногоконца до сечения. В разрезе прикладываем положительный крутящий момент Мк. Из суммы моментов вокруг оси бруса определяем функцию крутящего момента Мк и строим эпюру.
Правило знаков для крутящего момента Мк
Если смотреть со стороны сечения, то положительный крутящий момент направлен против часовойстрелки.
На эпюре крутящих моментов Мк:
1) в сечениях, где приложен сосредоточенный внешний момент, на эпюре Мк будет скачок на величину момента;
2) если на конце бруса приложен момент, то эпюра Mк начинается с ординаты, равной этому моменту;
3)если на торце нет момента, то эпюра начинается с нуля.
Примечание
Удобнее изображать момент в виде точки и крестика (точка – вектор идет на нас, крестик – от нас).
Формула для определения напряжений
При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают только касательныенапряжения , неравномерно распределенные по сечению (рис. 2).
Эти напряжения определяются по формуле τ = ,
где - текущий радиус (расстояние от центра круга до данной точки сечения), это наша переменная. Касательные напряжения распределяются по сечению по линейному закону, в центре кругового сечения равно нулю, максимальные касательные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от его центра .
-полярный момент инерции, геометрическая характеристика сечения.
Обозначим это момент сопротивления кручению, геометрическая характеристика сечения. Тогда максимальное напряжение будет равно
При кручении рациональным является кольцевое сечение, у которого вынут слабо напряженный материал вокруг центра и распределение напряжений более близко к равномерному распределению (рис. 2б).
Формула для определения угла закручивания
При кручении поперечные сечения бруса поворачиваются друг относительно друга на угол закручивания , который определяется по формуле .
При = const и = const получим
G - жесткость при кручении. Жесткость зависит от материала бруса - G это модуль
упругости второго рода или модуль сдвига, характеристика материала.
Форму сечения характеризует Jр – полярный момент инерции сечения.-
Расчет на прочность при кручении
Поверочный расчет
Дано: материал, размеры конструкции, нагрузка.
Требуется определить коэффициент запаса.
Для пластичных материалов определяется коэффициент запаса по текучести .
Для хрупких материалов определяется коэффициент запаса по разрушению .
tт - предел текучести при сдвиге или tв - предел прочности при сдвиге заданы, а максимальное касательное напряжение tmax определяем из решения задачи.
Проектировочный расчет
Дано: материал, допустимое напряжение, нагрузка. Требуется определить размеры сечения. Или заданы размеры сечения и требуется определить допустимую нагрузку.
Размеры сечения и допустимые нагрузки определяем из
условия прочности:
tmax £ [t],
где [t] - допустимое напряжение.
Допустимое напряжение [t] либо задано, либо определяется как отношение предельного напряжения к заданному коэффициенту запаса:
- для пластичных материалов, - для хрупких материалов.
Таблица геометрических характеристик сечений при кручении
РЕКОМЕНДАЦИЯ
Метод решения статически неопределимой задачи на кручение такой же, как и при решении задачи на растяжение. Формулы по структуре аналогичные.
Для касательного напряжения
Для угла закручивания (угла поворота сечения)
Для построения эпюры углов закручивания .
- угол поворота данного сечения,
- угол поворота в начале участка,
i- скручивание участка от его начала до данного сечения.
Формулы моментов инерции и моментов сопротивления кручению даны в таблице.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА КРУЧЕНИЕ
1) Отбрасываем одну опору, прикладываем реактивный момент.
2) Записываем выражение для угла поворота на конце валика там, где была опора. При этом используем принцип независимости действия сил, т.е. поворот записываем от каждого момента отдельно, а результаты складываем.
Каждый момент умножаем, как правило, на расстояние от него до опоры.
Но при этом учитываем разные жесткости участков, входящих в формулу для угла закручивания .
Находим соотношение между разными ( или Jк ) , сокращаем, как делали в растяжении.
Значения смотрите в таблице.
3) Приравниваем полученное выражение к нулю (так как в этом месте в действительности заделка и угол поворота в ней равен нулю).