Теорема Эйлера-2. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четны.
Пример 3.35 
Вспомним задачу о кенигсбергских мостах. Она сводится к вопросу – является ли граф, представляющий эту задачу, эйлеровым? Если вершины будут обозначать участки суши, а ребра – мосты, то получим граф следующего вида:
Очевидно, что этот граф не эйлеров, т.к. все его вершины имеют нечетные степени; поэтому требуемый цикл не существует. Если отменить требование возврата в ту же точку, то вопрос о пути по всем мостам сведется к вопросу о существовании собственной эйлеровой цепи.
Теорема 3.5 Граф имеет собственную эйлерову цепь (путь) Û когда он связный и ровно две его вершины имеют нечетную степень.
Вершины нечетной степени являются началом и концом эйлеровой цепи.
Если снова вернуться к рассмотренному примеру, то увидим, что эйлерова цепь в нем также не существует, т. к. вершин нечетной степени в нем 4.
А теперь разберемся, как найти эйлеров цикл. Сначала вспомним еще одно определение.
Мостом (или перешейком) называется такое ребро графа G, удаление которого увеличивает число связных компонент. Если ребро r принадлежит некоторому циклу C, то оно не может быть мостом.
Пример 3.36 
В данном графе ребра r1 и r2 являются мостами.
Для нахождения эйлеровой цепи в связном графе, который имеет вершины только четной степени, используют алгоритм Флери:
1) Движение начинается из произвольной вершины графа; идем по ребрам, включая эти ребра в эйлерову цепь и удаляя их из графа.
2) В очередной вершине выбираем путь по перешейку только в том случае, если нет пути по циклу.
3) Если в графе остаются ребра, которые нельзя использовать для продолжения имеющегося пути, то следует начать строить простой замкнутый цикл из уже пройденной вершины и инцидентного ей ребра, если последнее ранее не использовалось.
Пример 3.37 Пусть требуется построить эйлеров цикл для графа, изображенного на рисунке. Начать построение эйлерового цикла можно с любого ребра графа. Начиная с е1, получим цикл v1, e1, v5, e2, v4 ,e3, v3 ,e4 , v4 ,e5 ,v1,e6 ,v3, e8, v2, e7 ,v1. В данном случае сразу получили эйлерову цепь.
3.5.5 Гамильтоновы графы
Гамильтонова цепь (путь) – это простая цепь (путь), которая проходит через каждую вершину (узел) графа ровно по одному разу. Соответственно гамильтонов цикл – это простой цикл, который проходит через каждую вершину графа.
Граф, содержащий гамильтонов цикл, называется гамильтоновым графом.
Пример 3.38 Гиперкуб порядка n при n ³ 3 имеет гамильтонов цикл. Этот цикл описывается кодом Грея (каждые два соседних набора отличаются ровно одним разрядом Þ на графе они соединены ребром). (000, 001, 011, 111, 101, 100, 110, 010, 000).
В отличие от эйлерова графа, не существует четкого критерия для определения, является ли граф гамильтоновым.
В качестве практического применения задачи поиска гамильтонова пути можно назвать т.н. задачу коммивояжера. В ней требуется осуществить обход всех населенных пунктов, посещая каждый по разу, и при этом постараться пройти минимальное расстояние.
3.5.6 Контрольные вопросы
1. Что такое компонента сильной связности? Как можно найти КСС в орграфе?
2. Какие существуют алгоритмы решения задачи поиска кратчайших путей? В чем их различие?
3. Какие пометки вершин используются в алгоритме Дейкстры и как с их помощью можно получить кратчайший путь?
4. Какая матрица используется в алгоритме Флойда-Уоршалла? Что представляет из себя итоговая матрица?
5. Какое практическое применение имеет задача поиска минимального остова?
6. Единственным ли образом можно построить минимальный остов взвешенного графа?
7. Какой граф называется Эйлеровым?
8. Как можно проверить наличие в графе эйлерова пути или цикла?
9. Какой алгоритм используется при нахождении эйлеровой цепи?
10. Что такое гамильтонов граф?
11. Каково практическое применение задачи поиска гамильтонова пути в графе?