Решение задач

1. Задача.Доказывается непосредственно из определения предельной точки и точной верхней грани

2. Задача.Данное утверждение очевидно.

3. Задача.Докажем неравенство по индукции. При n = 2 неравенство практически очевидно. В предположении индукции, что равенство верно при nдокажем его при n + 1:

(1 + x)^{n + 1} = (1 + x)ⁿ(1 + x) ³(1 + nх)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx²³ 1 + (n + 1)x.

4. Задача.Доказать, что последовательность убывает и ограничена снизу. Следовательно, она имеют общий предел c .

Решение. Воспользуемся неравенством из предыдущей задачи:

Отсюда вытекает монотонное убывание y(n). Из неравенства x(n) £y(n) получаем ограниченность снизу.

3. Задача. Доказать, что lim_n→∞n^k/2ⁿ= 0, lim_n→∞n(a^1/n− 1) = lna, a> 0.

Решение. (a) Докажем сначала для k = 1. Воспользуемся биномом Ньютона:

Тогда

и 0 £lim_n→∞n/2ⁿ£lim_n→∞2n/n(n – 1) = 0.

Аналогично для произвольного k:

Тогда

Возможно также провести доказательство по т. Штольца.

(б) Исходя из неравенства (см. замечательный предел и задачу 4)

находим . Следовательно

Приа> 1 имеем , где при . Если через a_n = [z_n] – обозначить целую часть z_n, то a_n£z_n£a_n + 1 и . Отсюда вытекают неравенства

Так как последовательность является подпоследовательностью сходящейся последовательности , то

Предельный переход в полученных неравенствах доказывает утверждение. Случай а£ 1 сводится к рассмотренному переходом к b = 1/a.

4. Задача.Пусть lim_n→∞x_n = +∞. Доказать, что lim_n→∞(x₁+···+x_n)/n= +∞.

Доказательство. Строгое доказательство проводится по определению бесконечного предела: нам дано, что ∀M∃n₁: ∀n>n₁x_n> 2M и надо доказать, что ∀M∃n₂: ∀n>n_2¢¢(x₁+···+x_n)/n>M.

Возьмём n₂> 2n_1. Тогда

5. Задача.Пусть∀n∈Np_n> 0 иlim_n→∞p_n = p. Доказать, чтоlim_n→∞(p₁...p_n)^1/n= p.

Доказательство. lim_n→∞p_n = p ⇔∀ε > 0 ∃n₀ = n_0(ε): ∀n > n₀ |p_n−p| < ε. Тогда рассмотрим выражение lim_n→∞(p₁...p_n)^1/n= lim_n→∞(p₁... )^1/n lim_n→∞( ...p_n)^1/n =

= 1×lim_n→∞ ( ...p_n)^1/n. Для последнего предела в силу отмеченного выше имеем оценку:

£( ...p_n)^1/n£ .

Так как lim_n→∞ = lim_n→∞ = 1, по теореме о двух милиционерах получаем искомое утверждение.

6. Задача.Исходя из равенства = e, доказать, что lim_n→∞n/(n!)^1/n = e.

Доказательство. Докажем вспомогательное утверждение: если lim_n→∞y_n/y_n−1= a, то lim_n→∞ = a. Оно явно следует из предыдущей задачи, если положить p_n = y_n/y_n−1. Тогда берём y_n =nⁿ/n!:

7. Задача.Доказать, что последовательность a_n = (1 + 1/n)^n+p строго убывает тогда и только тогда, когда p≥ ½.

Доказательство. Сравним и . Для этого сравним логарифмы этих выражений (используем монотонность функции y = lnx).

(n + p)(ln(n + 1) − lnn) ∨ (n + p +1)(ln(n + 2) − ln(n + 1)).

Пусть f(x) = (x + p)(ln(x + 1) − lnx). Тогда f¢(x) = (ln(x + 1) − lnx) + (x + p) и f¢¢ = > 0. При p ≥ ½ f¢(x) возрастает (f¢¢> 0) и lim_x→+∞f¢(x) = 0, то есть f¢(x) < 0 и f(x) убывает. При p £ ½ f¢(x) возрастает при x<p/(1−2p) и убывает при x>p/(1−2p). lim_x→+∞f ¢(x) = 0, следовательно f ¢(x) > 0 при x > p/(1−2p), при таких x f(x) возрастает.

Доказано.

8.Задача.Доказать, что ∀r ∈ Q: |r| < 1 верны равенства 1+ r£e^r£ 1 + r/(1 - r).

Доказательство. Докажем левое неравенство. Известно, что (1 + 1/x)^x<e, откуда следует, что xln(1 + 1/x) < 1 ⇒ln(1+ t) <t, где t = 1/x.

Теперь докажем правое неравенство. Оно следует из того, что (1 + 1/x)^x+1>e после некоторых преобразований. В обоих случаях мы брали натуральный логарифм от обеих частей неравенства и пользовались тем, что y = lnx монотонно возрастает.

10.Задача. Пусть {x_n} последовательность с ограниченным изменением, т.е. ∃c > 0: ∀n ∈ N верно неравенство <c. Доказать, что последовательность {x_n} сходится.

Доказательство. Пусть y_n . Эта последовательность возрастает и ограничена сверху, следовательно имеет предел. Значит для неё выполняется критерий Коши: ∀ε > 0 ∃n₀ = n₀(ε): ∀k,m> n₀ |y_k− y_m| < ε

По определению |x_k − x_m| £ |y_k − y_m| = |x_m+1 −x_m|+ ···+ |x_k − x_k−1| <ε

Следовательно идля последовательности {x_n} выполняется критерий Коши, то есть она сходится.

Замечание. Пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения:x_n = sgn(cos(πx))×1/n.

11. Задача.Пусть 0 £x_m+n£x_m + x_n. Доказать, что ∃lim_n→∞x_n/n.

Доказательство. Обозначим x_n/n за y_n. Заметим, что подпоследовательность { } данной последовательности не возрастающая и ограниченная снизу, то есть сходится:

Теперь покажем, что разность между любым членом и членом с номером, равным ближайщейстепени двойки, стремится к нулю, то есть и вся последовательность имеет предел:

12. Задача.Верно ли, что

(a) _n→∞ (a_n + b_n) £ _n→∞a_n + _n→∞b_n, если последние пределы существуют;

(b) если lim_n→∞a_n = a и _n→∞b_n = b, то _n→∞a_nb_n = ab;

(c) _n→∞a_n = − _n→∞(−a_n).

(a) Выберем подпоследовательность индексов {n_k}, такую, что верхний предел исходной последовательности равен пределу подпоследовательности с данными индексами. В этой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность такую, что только последовательность имеет предел, из которой уже, в свою очередь выбираем подпоследовательность что имеет предел. Тогда каждый из верхних пределов больше соответствующего частичного предела. Что и требовалось доказать.

(b) Доказательство проводится по аналогичной схеме.

(c) Очевидно.

13. Задача.Пусть lim_n→∞a_n = +∞. Доказать, что ∃min_n∈Na_n.

Считаюэтоутверждениеочевидным.

14.Задача.Пусть lim_n→∞a_n = a. Доказать, что последовательность {a_n} имеет либо наибольший, либонаименьшей элемент, либо и тот и другой.

Считаю это утверждение очевидным.

15. Задача.Пустьs_n = a₁ + ··· + a_n → ∞,a_k> 0, lim_n→∞a_n = 0. Доказать, что множество предельных точек дробных частей {s_n} совпадает с отрезком [0;1].

См. задачу 29

16. Задача. Пусть lim_n→∞(s_n+1 − s_n) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim_n→∞s_n,и пусть l = _n→∞s_n, L = _n→∞s_n. Доказать, что последовательность {s_n} расположена всюду плотно на отрезке [l; L].

Доказательство. Покажем, что любая ε-окрестность точки a∈ (l;L) содержит бесконечное число элементов. Согласно условию ∃N = N(ε): |x_n+1 − x_n| < 2ε при n>N. Возьмём такой произвольныйε> 0, что окрестности точекl, a и L не пересекаются.

Посколькуl – частичный предел, то ∃x_p1 ∈U_ε(l): p1 >N. Аналогично ∃x_q1∈U

ε(L): q1 >N.

Но поскольку расстояние между двумя соседними элементами при n>N меньше 2ε, то ∃x_r1∈Uε(a): p1 <r1 <q1.

Предполагая далее существование таких элементов x_p2∈Uε(l): p2 >p1 и x_q2∈Uε(L): q2 >q1убеждаемся, что существует и x_r2∈Uε(a): p2 <r2 <q2.

Продолжая этот процесс до бесконечности, убеждаемся в бесконечном количестве членов последовательности, лежащих в окрестности точки a.

17. Задача.

(a) Пустьa_n> 0 и lim_n→∞a_n = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких, что a_n>max(a_n+1, a_n+2, ...).

(b) Пусть a_n> 0 и _n→∞a_n = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких, что a_n<min(a₁, a₂,..., a_n−1).

Данные утверждения более-менее очевидны, если в них хоть немного вдуматься.

Списоклитературы

[1] Конспекты лекций по мат. анализу.

[2] Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу, 4-е издание, исправленное. М.: Дрофа, 2004. – 640 с.

[3] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: Учеб.: Для вузов. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с.