Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ

Являясь по своей сути спектром дискретного периодического сигнала, ДПФ позволяет легко восстанавливать непрерывный периодический сигнал, занимающий ограниченную полосу частот. Для этого в формуле обратного ДПФ необходимо заменить дискретный параметр (номер отсчета k) на непрерывный – нормированное время t / T , где T – период дискретизации:

Следует обратить внимание на еще одно отличие этого соотношения: диапазон индексов суммирования смещен вниз на N/2. Это необходимо чтобы получить аналоговый сигнал, занимающий полосу частот от 0 до / T. Коэффициенты с отрицательными номерами могут быть получены из соотношения симметрии.

Результат восстановления непрерывного периодического сигнала с помощью ДПФ, разумеется, совпадает с результатами, получаемыми при использовании ряда Котельникова. Однако использование ДПФ в данном случае оказывается более предпочтительным, так как ряд Котельникова для периодического сигнала содержит большое число слагаемых, а ДПФ – конечное.

Матрица ДПФ

ДПФ является линейным преобразованием, трансформирующим вектор линейных отсчетов в вектор такой же длинны, содержащий отсчеты спектральные. Такое преобразование может быть реализовано как умножение некоторой квадратной матрицы на входной вектор-столбец :

y=A×x

где A – матрица преобразования. В случае ДПФ эта матрица имеет вид:

Общая формула для элемента матрицы, расположенного в n – столбце m-й строки выглядит так :

Этот метод на требует слишком много вычислительных операций, поэтому на практике применяются более быстрые алгоритмы.

Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала

Имея один и тот же конечный набор чисел, можно рассчитать либо спектральную функцию этого дискретного сигнала, либо его ДПФ. Разумеется возникает вопрос о том, как связаны друг с другом эти два спектральных представления, полученные на основе одних и тех же отсчетов сигнала. Очевидно, что ДПФ представляет собой просто дискретные отсчеты спектральной функции дискретного сигнала, соответствующие частотам :

По этой причине ДПФ иногда называют спектральными отсчетами.

Заключение

Несмотря на существенные возможности ДПФ по обработке цифровых данных, наличие комплексного образа у действительного сигнала часто делает неудобным непосредственное использование ДПФ в задачах ЦОС. Этот недостаток отсутствует у других дискретных функциональных преобразований, непосредственно связанных с дискретным преобразованием Фурье. Это группа дискретных тригонометрических преобразований (ДТП), таких как дискретное преобразование Хартли, дискретные косинусные преобразования, дискретные синусные преобразования модифицированные дискретные косинусные и модифицированные дискретные синусные

преобразования. Все эти преобразования возвращают вещественный спектр вещественного сигнала, что оказывается гораздо более удобным при цифровой обработке. Важно заметить, что переход от комплексного к вещественному спектру не сопровождается потерей информации. Дискретные тригонометрические преобразования непосредственно связаны с дискретным преобразованием Фурье.

Используемые источники

1. Новиков П.В. - Задания к лабораторным работам по курсу «системы цифровой обработки сигналов» 1-я Часть.

2. http://st07.ru/eldgt/dsp/C/C/5_1.htm

3. Гличенко А.С. - цифровая обработка сигналов

4. https://www.yandex.ru

5. https://www.google.ru

Оглавление

Введение......................................................................................................................................... 2

1. Дискретное преобразование Фурье ........................................................................................ 2

2. Свойства ДПФ........................................................................................................................... 6

1. Линейность............................................................................................................................ 6

2. Сдвиг...................................................................................................................................... 7

3. Свойства симметрии............................................................................................................ 7

4. Свертка последовательностей............................................................................................. 9

5. Линейная свертка конечных последовательностей........................................................ 10

3. Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ................................................. 12

4. Матрица ДПФ.......................................................................................................................... 13

5. Связь ДПФ и спектра дискретного сигнала......................................................................... 13

Заключение.................................................................................................................................. 14

Используемые источники........................................................................................................... 15