Среднее линейное отклонение

I. Абсолютные величины.

Исходной первичной формой выражения статистических показателей, отражающих уровень развития явления, служат абсолютные величины.

Абсолютные величины – это показатели, характеризующие размеры общественных явлений в конкретных условиях места и времени.

В зависимости от способа выражения они делятся на:

Индивидуальные.

Характеризуют размеры признака у отдельных единиц совокупности.

Пример:

а) зарплата отдельного работника;

б) величина вклада в банке конкретного вкладчика;

в) выработка отдельного рабочего за конкретный период.

Эти величины получаются непосредственно в процессе наблюдения и фиксируются в первичных документах.

2. Суммарные (сводные).

Характеризуют объем признака по определённой совокупности объектов (сумму значений признака всех единиц совокупности) и численность совокупности (сумму количества единиц совокупности).

Пример:

а) количество промышленных предприятий;

б) фонд заработной платы;

в) объем производства продукции всех промышленных предприятий.

Абсолютные величины выражаются в конкретных единицах измерения, которые разделяются на:

1. Натуральные единицы. Они подразделяются на:

а) простые (т., шт., м. и другие);

б) сложные (тонно-километры – измеряют грузооборот, пассажиро-километры – пассажирооборот, киловатт-часы – производство электроэнергии и другие);

в) условно-натуральные (условное топливо, условное мыло, условные консервные банки и другие);

Стоимостные единицы.

Дают денежную оценку признака.

Трудовые единицы.

Позволяют учитывать общие затраты труда и трудоемкость отдельных операций технологического цикла (человеко-день, человеко-час и другие).

II. Относительные величины.

Относительная величина – это величина, выражающая количественное соотношение между абсолютными величинами.

Схема расчета:

Анализируемая величина

ОВ =

База сравнения

Формы выражения относительных величин:

1. Коэффициент. Если база сравнения приравнивается к единице.

2. Процент(%). Если база сравнения приравнивается к 100.

3. Промиллиилипродецимилли (‰). Если база сравнения приравнивается к 1000 или 10 000.

Виды относительных величин.

1. Относительная величина динамики.

Характеризует изменение изучаемого явления во времени.

Определяется как отношение текущего показателя к базисному (предшествующему). Она показывает, во сколько раз текущий показатель превышает предшествующий или какую долю от него составляет. Данный показатель выражается коэффициентом роста или при умножении на 100% - темпом роста.

2. Относительная величина планового задания.

Характеризует отношение уровня запланированного на предстоящий период к уровню фактически сложившемуся в этом периоде. Она показывает на сколько необходимо превысить фактический показатель.

3. Относительная величина выполнения планового задания.

Характеризует степень выполнения плана. Определяется как отношение достигнутого уровня к плановому.

4. Относительная величина структуры.

Определяется как отношение части к целому. Показывает какую долю или какой удельный вес имеет отдельная часть в общем итоге.

Пример:

а) доля городского населения в общей его численности;

б) доля личных подсобных хозяйств в производстве продукции сельского хозяйства;

в) доля товарооборота предприятия в общем объеме товарооборота района.

5. Относительная величина интенсивности.

Характеризует степень распространения явления в присущей ему среде.

Определяется как отношение показателя характеризующего явление А к показателю, характеризующему среду его распространения.

Пример:

а) число родившихся на 1000 человек;

б) количество человек на 1 км² (плотность населения).

6. Относительная величина координации.

Характеризует соотношение отдельных частей целого между собой. Определяется как отношение показателя характеризующего отдельную часть совокупности к показателю, характеризующему часть совокупности, выбранную в качестве базы сравнения.

Пример:

а) сколько специалистов со средним специальным образованием приходится на 1 специалиста с высшим;

б) сколько рублей составляет 1 доллар США;

в) сколько рублей экспорта приходится на 1 рубль импорта.

7. Относительная величина сравнения.

Характеризует соотношение одноимённых показателей, относящихся к различным объектам. Определяется как отношение показателя характеризующего объект А к показателю, характеризующему объект Б.

Пример:

а) соотношение численности населения Москвы и Санкт-Петербурга;

б) соотношение уровня производительности труда на различных предприятиях;

в) соотношение себестоимости различных видов продукции.

III. Средние величины.

Средние величины– это показатели, дающие обобщающую количественную характеристику однородным общественным явлениям по какому-либо признаку.

Сущность средних заключается в сглаживании различий в величине признака, возникающих по тем или иным причинам у отдельных единиц совокупности и определении размера признака, выражающего общие для данной совокупности условия.

Пример:

1) Месячная заработная плата шахтеров в силу различия их квалификации, стажа, отработанного времени и других признаков отличается друг от друга. Однако средняя зарплата всех шахтеров отражает типичный уровень оплаты труда работников данной специальности.

2) Цены на рынке на одинаковую продукцию отличаются по тем или иным причинам. Однако средняя цена характеризует стоимость данной продукции.

Для того, чтобы средняя объективно характеризовала совокупность необходимо соблюдать условия:

1. Расчет средней должен проводиться для качественно однородной совокупности.

Пример: 1) Если определить средний уровень доходов служащих какого-либо района, получится не объективный показатель, т.к. в данную совокупность включаются служащие предприятий различных типов (государственных, совместных, акционерных, сферы культуры, образования и другие), имеющих различный уровень заработной платы. Поэтому для расчета типичных средних необходимо сгруппировать служащих по различным типам предприятий и определить средний доход по этим группам.

2) Средняя себестоимость, определённая для группы однородных товаров или товаров одного вида будет более объективна, чем средняя себестоимость, вычисленная для всей совокупности выпускаемых товаров.

2. Расчет средней должен проводиться при охвате максимально возможного числа единиц совокупности.

Такая средняя наиболее достоверна, т.к. согласно закону больших чисел случайные индивидуальные различия между единицами совокупности взаимопогашаются и не оказывают существенного влияния на среднее значение.

3. Для объективной характеристики сложных явлений необходимо использовать систему средних показателей.

Пример: При изучении изменения доходов торговых предприятий используют несколько средних величин: средний оборот на 1 предприятие; средний размер дохода на одно предприятие; средний размер доходности и другие.

Различают две группы средних величин:

1. Степенные средние.

2. Структурные средние.

Степенные средние делятся на несколько видов. При этом выбор вида используемой средней производится в зависимости от содержания изучаемого явления и конкретных данных, по которым её приходится рассчитывать.

Виды степенных средних:

Средняя арифметическая.

А) простая:

Σ Х_i Х₁ + Х₂ + Х₃ + … + Х_n

Х_ар = = , где (1)

n n

Х_i – i-е значение признака;

n – число единиц совокупности.

Применяется если:

а) индивидуальные значения признака не имеют повторов;

б) ряд индивидуальных значений признака не сгруппирован.

Б) взвешенная:

Σ X_i f_i X₁f₁ + X₂f₂ + … + X_nf_n

X_ар = = , где (2)

Σ f_i f₁ + f₂ + … + f_n

f_i - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Определяется по сгруппированным данным или если отдельные значения признака имеют повторы.

Средняя гармоническая.

Используется, когда известны отдельные значения признака и общий объем явления, а частоты по отдельным вариантам отсутствуют.

А) простая:

n 1 + 1 +…+ n

Х_гар = = , где (3)

Σ 1/Х_i 1/Х₁+ 1/Х₂+ … + 1/Х_n

Σ 1/Х_i - сумма обратных значений признака.

Применяется, когда объемы явления W_i = X_i f_i по каждому признаку равны.

Б) взвешенная:

Σ W_i W₁+ W₂+…+ W_n

Х_гар = = (4)

Σ W_i / Х_i W₁/ Х₁+ W₂/ Х₂+…+ W_n/ Х_n

Средняя хронологическая.

Применяется если информация представлена на начало или конец каких-то промежутков времени и временные интервалы равны между собой.

1 / 2 Х₁ + Х₂ + Х₃ +…+ 1 / 2 Х_n

Х_хр = (5)

n – 1

Рассчитывается по динамическим рядам.

Средняя геометрическая.

Применяется при определении среднего темпа роста или прироста в рядах динамики.

_n

Х _г = Х₁ ^х Х₂ ^х … ^х Х_n (6)

Структурные средние – это показатели, характеризующие внутреннее строение рядов распределения.

Виды структурных средних:

1. Мода (Мо). Это значение признака чаще всего встречающегося в статистическом ряду, т.е. вариант, имеющий наибольшую частоту (f_i).

Мода широко применяется при изучении покупательского спроса, регистрации цен, анализа доходов населения и т.д.

При определении моды в интервальных рядах используют формулу:

f_Мо – f_{Мо – 1}

Мо = Х_Мо + i_Мо ^х , где (7)

(f_Мо – f_{Мо – 1}) + (f_Мо – f_{Мо + 1})

Х_Мо – нижняя граница модального интервала;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_{Мо – 1} – частота интервала предшествующего модальному;

f_{Мо + 1} – частота интервала следующего за модальным.

Модой в интервальном ряду будет один из центральных вариант модального интервала, т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту.

2. Медиана (Ме). Это вариант, который находится в середине ряда и делит его численность на 2 равные части.

Для нахождения медианы в дискретном ряду необходимо ранжировать ряд, а затем определить порядковый номер медианы, т.е. номер под которым она находится в ряду:

1) N_Ме = n + 1 / 2 – для ряда с нечетным количеством вариант.

2) N_Ме = n / 2 – для ряда с четным количеством вариант.

При нахождении медианы в интервальном ряду используют формулу:

N_Ме – S_{Ме – 1}

Ме = Х_Ме + i_Ме ^х , где (8)

f_Ме

Х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i_Ме – величина медианного интервала;

S_{Ме – 1} – накопленная частота интервала предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Медианный интервал определяется следующим образом:

1) Рассчитываются накопленные частоты. Они определяются путём постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака.

2) Определяется номер медианы.

3) Находится накопленная частота медианного интервала. Она равна или превышает значение номера медианы.

4) Находится медианный интервал – по накопленной частоте.

Медиана используется при анализе доходов населения, маркетинговых исследованиях и других случаях, когда необходимо определить среднее значение ряда.

3. Аналогично медиане определяются значения признака делящие совокупность на 4 равные части по числу единиц – квартели, на пять – квинтели, десять – децели, сто – перцентели.

Пример расчета децелей:

N_di – S_{di – 1}

d_i = Х_di + i_di ^х , где (9)

f_di

d_i – i-й децель;

Х_di – нижняя граница интервала содержащего i-й децель;

i_di – величина интервала содержащего i-й децель;

S_{di – 1} – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу содержащему i-й децель;

f_di – частота интервала содержащего i-й децель;

N_di – номер под которым находится i-й децель. Он определяется:

N_d1 = 1 / 10 ^х Σ f или n / 10;

N_d2 = 2 / 10 ^х Σ f или 2n / 10;

N_d3 = 3 / 10 ^х Σ f или 3n / 10 и т.д.

IV. Показатели вариации.

Показатели вариации – это величины характеризующие вариацию признака статистической совокупности.

Значения показателей вариации.

1. Они дополняют средние величины.

2. Характеризуют границы вариации признака.

3. Характеризуют степень однородности совокупности по данному признаку и типичность средней величины.

4. Соотношение показателей вариации характеризует взаимосвязь между признаками.

Показатели вариации:

Размах вариации.

R = X_max – X_min , где (10)

X_max – наибольшее значение признака;

X_min – наименьшее значение признака.

Данный показатель указывает на общие размеры вариации и применяется когда для анализа важны значения либо максимальных, либо минимальных вариант.

Пример: При определении качества продукции, перспектив роста и других.

Среднее линейное отклонение.

Определяется по:

А) средней арифметической простой:

Σ ‌ Х_i – ‌

d = , где (11)

n

‌ Х_i – Х ‌ – абсолютное отклонение отдельных вариант от их средней величины.

Б) средней арифметической взвешенной:

Σ ‌ Х_i – ‌ f_i

d = (12)

Σ f_i

Этот показатель характеризует степень однородности совокупности по анализируемому признаку. С его помощью можно проанализировать однородность состава рабочих на том или ином предприятии, ритмичность производства, вариацию цен и т.п.

3. Дисперсия. Она определяется по:

А) средней арифметической простой:

Σ ( Х_i – )²

δ² = (13)

n

Б) средней арифметической взвешенной:

Σ ( Х_i – Х )² f_i

δ² = , где (14)

Σ f_i

( Х_i – Х )² – квадрат отклонений вариант от их среднего значения.

4. Среднее квадратическое отклонение.

δ = δ² (15)

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения и выражается в тех же единицах что и анализируемый признак.

Коэффициент вариации.

V = δ / ^х 100 % (16)

Он дает характеристику однородности совокупности и типичности средней величины.

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %. В этом случае средняя типична для данной совокупности. Если коэффициент вариации превышает 33 %, то необходимо разбить изучаемую совокупность на более однородные группы и рассчитать для них типичные групповые средние.

Коэффициент вариации позволяет сравнивать вариации различных признаков: возраста рабочих и их квалификации; зарплаты и стажа; себестоимости и прибыли – а также колеблемость одного и того же признака в нескольких совокупностях с различными средними.

Кроме того, при экономическом анализе могут применяться и другие показатели вариации:

Коэффициент осцилляции.

V_R = R / ^х 100 % (17)

2. Линейные коэффициенты вариации:

V_d = d / ^х 100 % (18)

V_d = d / Ме ^х 100 % (19)