Первичная обработка результатов измерений случайной величины

Закон больших чисел и центральная предельная теорема

1.Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим. В основе доказательства теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:
P{|X-M[X]|<e}>=1-D[X]/e^2

2. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине при , и пишут: , если для любого

3. центральная предельная теорема — утверждает, что если — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, то, при стремлении к бесконечности, распределение их среднего — случайной величины сходится к нормальному распределению.

4. Если для последовательности {Xn}, n = 1,2,..., независимых СВ выполняется условие

lim n→+∞

D[Yn] = 0,

то к этой последовательности применим закон больших чисел.

5. физ смысл закона больших чисел. Kонкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате масс и таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются.

Первичная обработка результатов измерений случайной величины

1.Мат. статистика занимается статистич. Анализом результатов опытов или наблюдений, а также построением и проверкой подходящий математических моделей процессов и систем на основе результатов эксперимента

2. Статистические закономерности - форма проявления взаимосвязи явлений, при которой данное состояние системы определяет все ее последующие состояния не однозначно, а лишь с некоторой вероятностью, выступающей объективной мерой возможности реализации заложенных в прошлом тенденций изменения

3. Принципы построения выводов.Два основных метода анализа статистических данных: 1) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого неизвестен. 2) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

4. Принцип практич увереннсоти Если вероятность α события А в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении испытания можно считать, что событие А практически невозможно. Тогда противоположное событие A практически достоверно, т.е обязательно произойдет.

5.Задачи:1. Определение закона распределения основного признака (наблюдаемой СВ) 2. Нахождение оценок неизвестных параметров распределений и оценок числовых характеристик СВ. 3. Проверка правдоподобия статистич гипотез. 4. Оптимальная организация и проведение экспериментов и оптимальная обработка результатов экспериментов.

6. Ген. Совокупность – совокупность всех мыслимых значений, которые может принимать величина Х при данном реальном комплексе условий.

7. случайная выборка – результат последовательных наблюдений над случайной величиной , представляющей генеральную совокупность.

8. Случайная выборка - способ отбора при котором каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Реализовать случайную выборку можно двумя приемами: лотерейный метод и с помощью (таблицы) случайных чисел.

9. Простой статистический ряд - значения исследуемого признака, записанные для всех элементов выборки в том порядке, в котором они были получены

10. Вариационным рядом выборки х₁, х₂ х_3…. x_n называется такое представление, при котором элементы записываются в виде неубывающей последовательности x¹, x², x³… xⁿ,, где x¹<=x²<= x³…<= xⁿ

11. Х₁, Х₂ Х_3…. Х_n - случайный вектор , компоненты которого независимы и распределены по одному и тому же закону.

12. Числа, х₁, х₂ х_3…. x_n получаемые при кратном повторений экспериментов в неизменных условиях, представляют собой конкретную реализацию выборочного случайного вектора , Х₁, Х₂ Х_3…. Х_n компоненты которого независимы и распределены по одному и тому же закону.

1)Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки , которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, т.е. определены вероятности ее попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, т.е. исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно - основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.

3)

Точечная оценка математического ожидания
Пусть выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x с неизвестным математическим ожиданием Mx=q и известной дисперсией .
Рассмотрим оценку неизвестного математического ожидания

.

Оценка несмещённая, поскольку её математическое ожидание равно Mx=q :

,
Оценка состоятельная, поскольку при n®¥, :

.

Итак, для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее: .

5) Точечная оценка дисперсии
Для дисперсии случайной величины можно предложить следующую оценку:

, где — выборочное среднее.

Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.
В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии используют величину

.

Именно несмещенностью оценки объясняется ее более частое использование в качестве оценки дисперсии.

1. Статистическая гипотезапредставляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки [3, 5, 11]. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называютнепараметрическими, в противном случае – параметрическими.

2. Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x₁, x₂, …, x_n). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S₀ и S₁. Если значение критерия z попадает в область S₀, то гипотеза принимается, а если в область S₁, – гипотеза отклоняется. Множество S₀называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

Критерий хи-квадрат К. Пирсона

3. Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F_п(x), которая приближенно подчиняется закону распределения c ². Гипотеза Н₀ о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

4. Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н₀. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н₀ называется мощностью критерия. Мощность критерия: — вероятность отклонить гипотезу , если на самом деле верна альтернативная гипотеза . Мощность критерия является числовой функцией от альтернативной гипотезы .

5. Уровень значимости статистического теста — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (ложноположительного решения, false positive), то есть вероятность отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна.Другая интерпретация: уровень значимости — это такое (достаточно малое) значение вероятности события, при котором событие уже можно считать неслучайным.Уровень значимости обычно обозначают греческой буквой (альфа).

1. Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

2. Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.

3. Расчёт статистики критерия такой, что:

1. её величина зависит от исходной выборки ;
2. по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ;
3. сама статистика должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама является случайной в силу случайности .

4. Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.

5 .Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .

7. При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z(a ).

7. Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о

предполагаемом законе неизвестного распределения. С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормаль-ном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве in′

критерия выбирается случайная величина

χ^2=∑((ni-ni’)^2)/ni’ K>()

8. (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется.

область принятия гипотезы – значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками kр. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством K>kкр), левосторонней (K<kкр) или двусторонней (K<(kкр)1,K>(kкр)2 .

9. ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза

10. ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза

11. Порядок проверки статистической гипотезы таков:

1) задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение kкр; определяется вид критической области;

2) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия Кнабл;

3) если Кнабл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании Кнабл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.