Методы обработки результатов наблюдений

Одним из основных способов изучения окружающего нас мира, средством познания было и остается наблюдение. Под наблюдением принято принимать целенаправленное восприятие свойств процессов и явлений. Опираясь на результаты наблюдения, человек строит физическую модель новых процессов и явлений, выдвигает научные гипотезы, делает открытия, создает теорию, принимает решения. Наблюдения сопровождается приемом, определенным преобразованием и регистрацией человеком информации о свойствах наблюдаемого объекта. Регистрация результатов наблюдения может производится как в памяти ( мозге) человека- наблюдателя, так и на специальных носителях информации ( бумаге, магнитной ленте, полотне художника, фотопленке и т.д.). Характер наблюдения существенным образом зависит от профессиональной направленности наблюдателя.

В то же время от наблюдения до принятия решения получаемая человеком информация претерпевает, как правило, существенные преобразования. Наиболее характерными этапами таких преобразований в большинстве сфер человеческой деятельности являются измерения и обработка результатов измерений.

Измерение состоит в сравнении наблюдаемой величины (свойства объекта) с эталоном и получении в результате этого ее численного значения. Если результаты наблюдений представлены в виде цифр и графиков, то имело место измерение. Иногда, кроме измерения, различают подсчет. Подсчет можно квалифицировать как завершающий этап наблюдения – регистрацию величин дискретного типа (число деталей, обрабатываемых за смену, и т.п.).

Допустим, что в результате n измерений случайной величины Х получена последовательность значений х₁,х₂,…, х_n, которая называется простым статистическим рядом или выборкой. Обычно выборка оформляется в виде таблицы, в первой колонке которой стоит номер опыта i, а во второй значение случайной величины.

Первичная обработка выборки состоит в группировке найденных значений по достаточно малым интервалам, вычислении средних относительных частот для каждого интервала и графическом представлении результатов в виде гистограммы или эмпирической функции распределения. Число интервалов k можно определить по формуле:

k = 1+3,2 lgn.

Полученное значение округляют до ближайшего целого числа. Число интервалов не должно превышать 10-20. Ширина интервалов ∆х выбирается одинаковой и равной:

∆х = (х_max- x_min) /k.

Все значения случайной величины, попавшие в некоторый интервал, относятся к его середине.

Пример 1:Ежесуточный выпуск кузнечным цехом поковок m(т/сут) регистрировался в течении n=36 сут. Необходимо построить статический ряд, гистограмму и эмпирическую функцию распределения случайной величины m. Данные в таблице:

I
M	1,8	32,7	3,6	1,9	25,1	25,4	5,3	6,6	24,7
I
M	6,9	7,7	25,2	8,8	23,0	9,7	11,3	20,7	21,2
I
M	21,8	12,7	21,5	13,3	21,8	13,0	14,5	15,8	14,1
I
M	15,2	17,2	16,3	17,9	13,5	16,6	15,1	17,0	15,0

Решение:k= 1+3,2 lgn= 1=3,2∙lg36≈7 – число интервалов, на которые разбивается диапазон наблюдений.

Находим ширину интервала от 0 до 35 т/сут.

∆m=(m_max- m_min)/k= 35-0/7= 5 т/сут.

Результаты наблюдений можно свести в представленный ниже статистический ряд:

Параметр	Значения параметра по номеру интервала
Интервал ∆m,т/сут	0…5	5…10	10…15	15…20	20…25	25…30	30…35
Среднее ,т/сут	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5
Число наблюдений ni			7,5	8,5
Частота ni/n	0,0833	0,1666	0,2084	0,2362	0,1944	0,0833	0,0278

Построение гистограммы: по оси абсцисс откладываем интервалы, и на каждом из них, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала (с тем, чтобы площадь всей гистограммы была равна 1). В нашем случае все интервалы имеют одинаковую ширину и поэтому высоты прямоугольников равны соответствующим частотам (рис. 1).

Рис.1. Гистограмма ежесуточного выпуска поковок

Для построения эмпирической функции распределения достаточно несколько точек, в качестве которых удобно взять границы интервалов:

F(0)=0

F(5)= F(0)+n₁/n= 0+0,0833= 0,0833

F(10)= F(5)+n₂/n= 0,0833+0,1666= 0,2499

F(15)= F(10)+n₃/n=0,2499+0,2084=0,4583

F(20)= F(15)+n₄/n= 0,4583+0,2362=0,6945

F(25)= F(20)+n₅/n= 0,6945+0,1944= 0,8889

F(30)= F(25)+n₆/n= 0,8889+0,0833= 0,9722

F(35)= F(30)+n₇/n= 0,9722+0,0278= 1.

График эмпирической функции распределения приведен на рис.2.

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения ежесуточного выпуска поковок; штриховой линией показана кривая для нормального закона распределения

Важнейшими характеристиками эмпирического распределения являются среднее арифметическое значение (выборочное среднее) и среднее квадратичное отклонение (выборочная дисперсия)

; s² .

При увеличении числа наблюдений n среднее арифметическое значение будет приближаться к математическому ожиданию, а среднее квадратичное отклонение – к дисперсии, т.е. при n→∞ справедливы соотношения: →M и s²→D .

Пример 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины, рассмотренной в примере 1.

Решение:

M =1/36(1,8+32,7+…+15,0) = 15,4 т/сут;

D = 1/35(1/8-15,4)²+(32,7-15,4)²+…+(15,0-15,4)²= 53,2(т/сут)²;

σ ≈ s = т/сут.

Пример 3 .Записать в виде вариационного и статистического рядов

выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

Решение. Объем выборки n = 15. Упорядочив элементы выборки по

величине, получим вариационный ряд

2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10 .

Статистический ряд записывается в виде таблицы

xi
ni

Пример 4.Определить выборочные среднее, дисперсию, моду и ме-

диану для выборки: 5, 6, 8, 2, 3, 1, 4, 1 .

Решение. Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 8. Выборочное среднее находим по формуле (13.1).

= 1/8 (1+1+2+3+4+5+6+8) = 3,75.

Для расчета выборочной дисперсии воспользуемся формулой (13.3).

D ~ =8/7 ( 1/8 (1+1+4+9+16+25+36+64) - 3,752 ) = 6,21 .

Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1, следовательно,

выборочная мода d X~= 1. Так как n = 8, то медиана hX~= 0,57 (3+4) =3,5.

Ответ: ; s²=6,21; dx=1; hx=3,5.