Спектральный анализ на основе быстрого преобразования Фурье
Гармонический анализ и синтез
Гармоническим анализом называют разложение функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в вычислении коэффициентов Фурье akи bkпо формулам (2) и (3).
Гармоническим синтезом называют получение колебаний сложной формы путем суммирования их гармонических составляющих (гармоник) (рисунок 1).
Классический спектральный анализ
Спектром временной зависимости (функции) f(t) называется совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Аk(спектр амплитуд) и jk(спектр фаз) от частоты w k= kw 1.
Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождении амплитуды Аkи фазы jkгармоник (косинусоид) ряда Фурье (4). Задача, обратная спектральному анализу, называется спектральным синтезом (рисунок 2 – продолжение рисунка 1).
Рисунок 1. Гармонический синтез
Рисунок 2. Классический спектральный анализ и синтез
Слово “классический” тут означает, что коэффициенты Фурье вычисляются прямым интегрированием тем методом, который используется в Mathcad.
Численный спектральный анализ
Численный спектральный анализ заключается в нахождении коэффициентов a0, a1, ..., ak, b1, b2, ..., bk(или A1, A2, ..., Ak, j 1, j 2, ..., j k) для периодической функции y = f(t), заданной на отрезке [0, Т] дискретными отсчетами. Он сводится к вычислению коэффициентов Фурье по формулам численного интегрирования для метода прямоугольников
 | (7) (8) |
где D t = T / N – шаг, с которым расположены абсциссы y = f(t).
Спектральный анализ на основе быстрого преобразования Фурье
Встроенные в Mathcad средства быстрого преобразования Фурье (БПФ) существенно упрощают процедуру приближенного спектрального анализа. БПФ – быстрый алгоритм переноса сведений о функции, заданной 2m (m – целое число) отсчетами во временной области, в частотную область. Если речь идет о функции f(t), заданной действительными отсчетами, следует использовать функцию fft.
Функция fft(v). Возвращает прямое БПФ 2m-мерного вещественнозначного вектора v, где v – вектор, элементы которого хранят отсчеты функции f(t).
Результатом будет вектор А размерности 1 + 2m - 1с комплексными элементами-отсчетами в частотной области. Фактически действительная и мнимая части вектора есть коэффициенты Фурье akи bk, что существенно упрощает их получение.
Функция ifft реализует обратное БПФ:
ifft(v) Возвращает обратное БПФ для вектора v с комплексными элементами. Вектор v имеет 1 + 2m - 1элементов.
Результатом будет вектор А размерности 2m с действительными элементами.
На рисунке 3 показано применение БПФ для спектрального анализа и синтеза импульса.