Графа состояний

В качестве примера, проведем расчет показателей надежности для микропроцессорной системы контроля (МПС) и управления работой азотного компрессора.

Согласно техническому заданию МПС контроля должна иметь следующие показатели надежности:

- средняя наработка на отказ - не менее 10000 ч;

- вероятность безотказной работы - 0,95;

- среднее время восстановления - не более 1,5 ч.

Устройство в процессе эксплуатации может находиться в трех состояниях:

1 – полностью трудоспособное состояние (происходит определение значения технологических параметров газа, работает система вычисления погрешности и работает блок индикации);

2 – частичная трудоспособность (происходит процесс контроля, но цепь индикации не работает);

3 – состояние отказа (основная функция не выполняется). При переходе системы из первого состояния в состояние 2 или 3 вырабатывается восстановление полной трудоспособности. Граф переходов системы контроля и управления с одного состояния в другое показан на рисунке 1.

Рисунок 1 – Граф состояний МПС

l ₁₂ – интенсивность отказов блока индикации;

l ₁₃ – интенсивность отказов МПС;

l ₂₃ – интенсивность отказов системы контроля после отказа блока индикации;

m₃₁ – плотность вероятности восстановления первостепенной функции;

m₂₁ – интенсивность восстановления блока индикации.

Для описания графа состояний установки системой дифференциальных уравнений (ДУ), используем правило Колмогорова. Получим следующее:

(16)

В тех случаях, если во время расчета учитываются процессы восстановления, потоки отказов являются марковскими стационарными. В этом случае вероятность пребывания устройства в том, или ином состоянии не зависит от времени. Уравнения системы (16) зависимые, поэтому третье уравнение заменено на выражение Р₁+Р₂+Р₃=1, тогда система (16) принимает вид:

(17)

Полученную систему можно решить относительно Рi.

Решив систему относительно Рі, найдем вероятности пребывания системы в каждом из состояний:

(18)

Для определения времени пребывание системы в одном из состояний, в (16) члены, связанные с третьим состоянием, исключены; сделана замена Рi(t) = Ti, в результате чего получаем систему:

(19)

Решив полученную систему относительно Т₁ и Т₂, найдем:

(20)

Для нахождения значений Р₁, Р₂, Р₃, Т₁, Т₂ выполняется расчет значений l₁₂, l₁₃, l₂₃, m₂₁, m₃₁ приближенным или уточненным методом. Однако в рамках данной лабораторной работы указанные параметры будут заданы.