1. Главная
  2. Технологии
  3. Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

Класс.

Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

1. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
2. Докажите, что биссектриса точкой пересечения биссектрис делится на отрезки , отношение длин которых, считая от вершины равно частному суммы сторон , образующих угол, из вершины которого она проведена, и длины стороны, к которой она проведена.
3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС (∠С=90°). Окружность радиуса √15 проходит через точки А,С,D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Найдите площадь треугольника АВС.
4. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.
5. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 86, SQ = 43.
6. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.
7. Биссектриса CD угла АСВ при основании ВС равнобедренного треугольника АВС делит сторону АВ так, что AD=BC. Найдите биссектрису CD и площадь треугольника АВС, если ВС=2.
8. (Ларин.ЕГЭв.№91) В равнобедренном треугольнике АВС АС – основание. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. а) Докажите, что АВ – биссектриса угла САD. б) Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
9. (Ларин. ЕГЭ в.№93) В трапеции АВСD ВС и АD – основания. Биссектриса угла А пересекает сторону СD в ее середине – точке Р. а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС. б) Найдите площадь трапеции АВСD, если АР=8, ВР=6.
10. (Ларин. ЕГЭ. В.№108) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведены биссектрисы АК, ВМ, СР. a) Докажите, что треугольник КМР – равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника КМР, если известно, что площадь треугольника АВС равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.
11. (Ларин. ЕГЭ. В.№116) В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P. а) Докажите, что BC:AC=CP:AP. б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=4,BM=5.
12. (Ларин. ЕГЭ. В.№114) В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм. а) Докажите, что ABCD – параллелограмм. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.
13. (Ларин. ЕГЭ. В.№98) В пря­мо­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны С пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та CH, ме­ди­а­на СМ и бис­сек­три­са СL. а) До­ка­жи­те, что СL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MCH. б) Най­ди­те длину бис­сек­три­сы СL, если СН = 3, СМ = 5.
Домашнее задание
1. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну BC в точке E Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD если BE=7, EC=3, а ∠ABC=150°.
2. Каж­дое ос­но­ва­ние AD и BC тра­пе­ции ABCD про­дол­же­но в обе сто­ро­ны. Бис­сек­три­сы внеш­них углов A и B этой тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, бис­сек­три­сы внеш­них углов C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD, если длина от­рез­ка KE равна 28.
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD. Найдите длины отрезков CD,СЕ,DЕ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник АВС и описанной около треугольника АВС, если АС=2, ВС=4, cos ACB=11/16.

Класс.

Занятие №2.Биссектрисы треугольника.

1. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
2. Докажите, что биссектриса точкой пересечения биссектрис делится на отрезки , отношение длин которых, считая от вершины равно частному суммы сторон , образующих угол, из вершины которого она проведена, и длины стороны, к которой она проведена.
3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС (∠С=90°). Окружность радиуса √15 проходит через точки А,С,D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ:АВ=3:5. Найдите площадь треугольника АВС.
4. Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.
5. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около четырёхуголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ = 86, SQ = 43.
6. Бис­сек­три­сы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.
7. Биссектриса CD угла АСВ при основании ВС равнобедренного треугольника АВС делит сторону АВ так, что AD=BC. Найдите биссектрису CD и площадь треугольника АВС, если ВС=2.
8. (Ларин.ЕГЭв.№91) В равнобедренном треугольнике АВС АС – основание. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. а) Докажите, что АВ – биссектриса угла САD. б) Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6.
9. (Ларин. ЕГЭ в.№93) В трапеции АВСD ВС и АD – основания. Биссектриса угла А пересекает сторону СD в ее середине – точке Р. а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС. б) Найдите площадь трапеции АВСD, если АР=8, ВР=6.
10. (Ларин. ЕГЭ. В.№108) В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) проведены биссектрисы АК, ВМ, СР. a) Докажите, что треугольник КМР – равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника КМР, если известно, что площадь треугольника АВС равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.
11. (Ларин. ЕГЭ. В.№116) В треугольнике ABC проведена биссектриса CM. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P. а) Докажите, что BC:AC=CP:AP. б) Найдите длину отрезка CP, если известно, что AM=4,BM=5.
12. (Ларин. ЕГЭ. В.№114) В четырехугольнике ABCD биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM – параллелограмм. а) Докажите, что ABCD – параллелограмм. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK=3, AM=2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°.
13. (Ларин. ЕГЭ. В.№98) В пря­мо­уголь­ном не­рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC из вер­ши­ны С пря­мо­го угла про­ве­де­ны вы­со­та CH, ме­ди­а­на СМ и бис­сек­три­са СL. а) До­ка­жи­те, что СL яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MCH. б) Най­ди­те длину бис­сек­три­сы СL, если СН = 3, СМ = 5.
Домашнее задание
1. Бис­сек­три­са угла A па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ну BC в точке E Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD если BE=7, EC=3, а ∠ABC=150°.
2. Каж­дое ос­но­ва­ние AD и BC тра­пе­ции ABCD про­дол­же­но в обе сто­ро­ны. Бис­сек­три­сы внеш­них углов A и B этой тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, бис­сек­три­сы внеш­них углов C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD, если длина от­рез­ка KE равна 28.
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD. Найдите длины отрезков CD,СЕ,DЕ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник АВС и описанной около треугольника АВС, если АС=2, ВС=4, cos ACB=11/16.

Наши рекомендации

Технология выполнения работы. При заданных длинах сторон треугольника вычисление его периметра осуществляется по формуле р=а+b+c, где а,b,c- длины сторон треугольника

Примеры задач. Измерь площадь большого треугольника, используя в качестве единицы измерения площадь маленького треугольника

Доказать, что если биссектрисы треугольника разбивают его на шесть равных по площади треугольников, то данный треугольник – правильный. (http://www.Tutoronline.Ru)

Теорема о соотношении между сторонами треугольника. Неравенство треугольника

Выбрать один правильный ответ. 1. дно поясничного треугольника (треугольника Пти) образует:

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Ысота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника