Решение основных задач способом замены плоскостей проекций

Решение четырех основных задач

Задача 1.Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения стала линией уровня.

Задача 2. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения стала проецирующей.

Задача 3.Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей.

Задача 4.Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня.

Решение основных задач способом замены плоскостей проекций

1 Преобразовать прямую (АВ) общего положения в прямую уровня или, другими словами, определить натуральную длину отрезка [AB]. Построение новых проекций А₁, В₁ точек А, В выполняется по схеме рисунок 3.1.

Для решения этой задачи выбираем новую плоскость проекций параллельно данной прямой. На рисунке 3.2 новая фронтальная плоскость проекций П₄ выбрана параллельно АВ, т.е. новая ось х₁₄ выбрана параллельно горизонтальной проекции А₁В₁ прямой АВ. Проекция A₄B₄ на новой плоскости проекций П₄ определяется проекциями А₄, В₄ ее точек А,В, построенными по алгоритму, приведенному на рисунке 3.1.

Очевидно, эта задача также легко решается заменой горизонтальной плоскости проекций П₁ на новую плоскость проекций П₄. Для этого новую ось x₂₄=П₂ÇП₄ нужно выбрать параллельно фронтальной проекции А₂В₂ данной прямой.

2 Преобразовать прямую (АВ) общего положения в проецирующую прямую. Очевидно, эта задача при наложенных выше ограничениях на выбор новых плоскостей проекций не решается заменой одной плоскости проекций. Действительно, новую плоскость проекций нельзя выбрать одновременно перпендикулярной прямой АВ и одной из плоскостей проекций исходной системы.

а) б)
Рисунок 3.1	Рисунок 3.2

Рассмотрим решение этой задачи способом двух преобразований (рисунок 3.2). Преобразованием ƒ (П₂ П₄) прямую АВ проецируем на новую плоскость проекций в прямую уровня в системе П₁ П₄ (см. задачу 1). Вторым преобразованием ƒ(П₁ П₅), где новая плоскость проекций П₅ выбирается перпендикулярно АВ (А₄В₄^х₄₅), в системе П₄П₅ получаем проецирующую прямую А₅В_5.

3 Построить центр О окружности, описанной около треугольника АВC. Для решения этой задачи необходимо преобразовать плоскость общего положения в проецирующую. По условию задачи новая плоскость проекции должна быть перпендикулярной данной плоскости Ф(A₁B₁C₁, A₂B₂C₂). Это условие будет выполнено, если она будет перпендикулярна горизонтали h плоскости Ф при замене П₂ на П₄ или фронтали плоскости Ф при замене П₁ на П₅

На рисунке показано решение этой задачи заменой горизонтальной плоскости проекций П₁ на новую плоскость проекций П_4., где Ф П_4. Построение новых проекций А₄, В₄, С₄ точек А, В, С плоскости Ф ясно из рисунка.

4 Преобразовать плоскость общего положения Ф (А, В, С) в плоскость уровня, т. е. определить натуральные размеры треугольника ABC (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3

Нетрудно показать, что решение этой задачи требует последовательного выполнения двух замен плоскостей проекций (способом двух преобразований), так как невозможно выбрать новую плоскость проекций, которая была бы одновременно параллельной плоскости Ф и перпендикулярной одной из плоскостей проекций исходной системы П₁ П₂.

Поэтому первой заменой ƒ(П₂ П₄) плоскость Ф преобразуем в проецирующую в системе П₁ П₄ (см. задачу 3),а второй заменой ƒ(П₁ П₅), где П₅ ||Ф, приводим ее в положение плоскости уровня в системе П₄ П₅.

Находим центр описанной окружности О₅ и возвращаем по обратной схеме на первоначальный комплексный чертеж.