Основы регрессионного анализа)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА АВТОМАТИКИ

А.В.КОЧЕРОВ

МЕТРОЛОГИЯ и ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ

ТЕХНИКА

Часть 2

Краткий лекционный курс

Учебное пособие по дисциплине

«Метрология и измерительная техника»

для студентов бакалавриата по направлению 220400

«Управление в технических системах»

Утверждено в качестве учебного пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

Компьютерная версия

УДК 681.142.2

К75

Куратор РИС Зайцев А.Н.

Работа рассмотрена на заседании кафедры автоматики и рекомендована к печати.

Зав.кафедрой Кочеров А.В., к.т.н.

Автор: Кочеров А.В., к.т.н.

Рецензент: профессор А.Г.Бурмистров, д.т.н.

К75 Кочеров А.В., Метрология и измерительная техника, часть 2

Краткий лекционный курс:

учебное пособие – М.:ИИЦ МГУДТ. 2013 – 42 стр.

Представлен теоретический материал, необходимый студентам МГУДТ специальностей 220400 по указанной дисциплине.

Даны теоретические основы статистической обработки экспериментальных данных с проверкой адекватности и построением доверительных границ, измерения расхода методом переменного перепада с подробным примером, измерения других величин.

УДК 681.142.2

ã Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2013

- 3 -

Примечание: весь учебный материал по измерительной технике

читается в двух дисциплинах:

1)Метрология и измерительная техника, часть1 (2 семестр),

2) Метрология и измерительная техника, часть2 (3 семестр).

ОГЛАВЛЕНИЕ : стр.

1.Статистическая обработка экспериментальных 4

данных по методу наменьших квадратов

(МНК,основы регрессионного анализа).

2. Измерение расхода жидкостей и газов. Теория метода 11

переменного перепада.

3.Измерение плотности и концентрации жидкости. 18

Методы измерения концентрации, избирательность методов.

Кондуктометрические методы, 18

Оптические методы. 22

Титрование 27

Полярография 29

4.Измерение состава газов.Хроматография 30

5.Измерение вязкости жидкостей. Основные методы. 32

6.Измерение геометрических размеров. 36

Толщиномеры. 36

Измерение площади. 40

7.Измерительные системы в составе схем автоматизации 41

типовых технологических объектов

легкой промышленности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 33

- 4 –

Статистическая обработка экспериментальных

Данных по методу наменьших квадратов (МНК,

основы регрессионного анализа).

Ограничения:

1)Все погрешности экспериментального массива [X ,Y] случайные и

независимые.

2)Погрешности функции Y существенно больше погрешностей

аргумента Х, - будем считать, что измерение Х производится

точно, без погрешностей.

3)При каждом различном значении аргумента Х_k производится не

менее двух опытов [Y_k1,Y_k2], среднее значение Y_kс=( Y_k1+Y_k2)/2.

Число опытов в этом случае N=2*k, здесь k=6, т.е. N=12.

В общем случае число повторений может быть более двух.

4)Погрешности измерения Y_k распределены по нормальному закону

или близко к нему.

5)Задается вид проверяемой модели, как правило, сначала проверяется

линейная модель:

(1)

Для расчета коэффициентов модели необходимо заполнить таблицу 1:

- 5 -

Линейная модель Таб.1

Xk

Y1k

Y2k

Ykc

dxk

(dxk)2

dyk

(dxk*dyk)

Ymk

dymk

(dymk)2

(dy(1-2))2

Xi 2

X1

X2

X3

X4

X5

X6

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

В последней строке таблицы 1 указаны столбцы, по которым надо

вычислить соответствующие суммы S1, S2, S3 и т.д. Тогда

последующие расчеты производятся в следующем порядке:

1 этап: расчет линейной модели

1.Рассчитать средние Xc=S1/6, Yc=S2/6, (2)

2.Рассчитать отклонения dx_i , dy_i от средних:

dx_k= X_k – Xc; dy_k= Y_kc – Yc; (3)

3.Рассчитать (dx_k)² , (dx_k* dy_k) и затем соответствующие

суммы S3, S4.

4.Рассчитать коэффициенты линейной модели :

a1=S4/S3, a0=Yc – a1*Xc (4)

5.Рассчитать значения Y_im по найденной модели.

Ym_k = а0 + а1*Х_k . (5)

2 этап: оценка адекватности линейной модели.

6.Рассчитать погреш. модели dym_k, квадраты (dym_k)² и

сумму S5.

7.Рассчитать погрешности "чистой" ошибки

dy(1-2)=Y1_k-Y2_k, (6)

соответствующие квадраты (dy(1-2))² и сумму S6.

8.Рассчитать суммы квадратов:

- 6 -

"чистой" ошибки SS_ош =1/2* S6, степень свободы f_ош= 6; (7)

адекватности SS_ад = 2* S5 , степень свободы f_ад = 4;

9.Рассчитать дисперсии:

"чистой" ошибки D_ош = SS_ош /f_ош; (8)

адекватности D_ад = SS_ад /f_ад;

10.Определить расчетное число Фишера:

F_P = D_ад/ D_{ош (9)}

11.Сравнить F_P c табличным F_Т:

-если F_P < F_Т ,то нет оснований сомневаться в том, что

найденная линейная модель адекватна экспериментальным

данным (положительный результат), и можно переходить к

расчету доверительных границ модели – см. этап 4;

-если F_P > F_Т , то найденная модель неадекватна

экспериментальным данным (отрицательный результат),

необходимо искать модель другого типа, - нелинейную.

Этап 3: расчет параметров нелинейной модели.

Нелинейных моделей различных типов много, здесь

рассматриваются только нелинейные модели, которые можно

линеаризовать (т.наз. внутренне линейные модели).