Відстань від основи висоти до бічної грані

Нехай , тоді за теоремою про три перпендикуляри. Отже, AB перпендикулярна до площини SOK. Звідси, якщо , то ON перпендикулярна до площини ASB.
.
Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником.
Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.
; ,
де Р — периметр основи, а — сторона основи, l — довжина апофеми.
Правильна трикутна піраміда
В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (див. рисунок).

Центром є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Тому будуємо дві медіани основи. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра.
На рисунку: — кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер); — кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней).
Нехай .
Тоді ; ; ;
; ; .
Отже, .
; .
Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди.
Ця площина перпендикулярна до площини основи і площини грані BSC.
Цікаво також відмітити, що мимобіжні ребра піраміди (SA і BC, SB і AC, SC і AB) є перпендикулярними. Якщо , то ON є відстанню від основи висоти не тільки до анафеми, а й до бічної грані BSC.
.
Правильна чотирикутна піраміда
В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.
Нехай сторона квадрата а (див. рисунок).
Тоді ;
;
;
;
.

Зверніть увагу: , , тобто .
При паралельному проектуванні паралельність зберігається.
; .
Відстань від основи висоти до бічної грані:
; .

Правильна шестикутна піраміда
В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник (див. рисунок). Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.
Тоді ;
Нехай сторона правильного шестикутника а.
;
;

.
; .

Зрізана піраміда
Зрізаною пірамідою називається многогранник, який залишиться, якщо від піраміди відділити площиною, яка паралельна основі, піраміду з тією ж вершиною.
Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду.
Зверніть увагу: щоб правильно зобразити зрізану піраміду, треба починати із зображення вихідної повної піраміди (див. рисунок).

Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники. Бічні грані — трапеції. — висота зрізаної піраміди, — висота бічної грані, — кут нахилу бічного ребра до площини основи (будь-якої), — кут нахилу бічної грані до площини нижньої основи.
Правильна зрізана піраміда — це зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди.
Її бічні ребра рівні й нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом. Її бічні грані дорівнюють рівнобічній трапеції і нахилені до площини нижньої основи під одним і тим самим кутом. Висоти бічних граней піраміди називаються апофемами.
Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ і апофеми.
, де Pн і Pв — периметри відповідних основ, l — апофема.
На рисунках зображені фігури, які буває дуже корисним розглянути при розв’язуванні задач на зрізану піраміду.
;
.

;


— прямокутна трапеція.
— висота зрізаної піраміди.
— висота бічної грані.

У випадку, коли зрізана піраміда правильна, відрізки OD і є радіусами описаного кола, а OF і — радіусами вписаного кола для нижньої і верхньої основи відповідно.

Правильні многогранники

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер.
Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.
1. У правильного тетраедра грані — правильні трикутники; у кожній вершині збігається по три ребра. Тетраедр — трикутна піраміда, усі ребра якої рівні.
2. У куба всі грані — квадрати; у кожній вершині збігається по три ребра. Куб — прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами.
3. В октаедра грані — правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по чотири ребра.
4. У додекаедра грані — правильні п’ятикутники. У кожній його вершині збігається по три ребра.
5. В ікосаедра грані — правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по п’ять ребер.
На рисунках наведено приклади правильних многогранників із назвами.

Тіла обертання

Циліндр

Круговим циліндром називається тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельними перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (див. рисунок). Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, — твірними циліндра.
Основи циліндра рівні й лежать у па­ралельних площинах.
Твірні циліндра паралельні й рівні.
Бічна поверхня циліндра складається з його твірних. Поверхня — з основі бічної поверхні. Радіус циліндра — це радіус його основи. Висота циліндра — відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна твірним. Циліндр називається прямим, якщо ­його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр (далі просто «циліндр») можна дістати в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі.
У прямому циліндрі висота дорівнює твірній. Перерізом циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник. Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — рівні й паралельні хорди основ. Осьовий переріз — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь.
Площина, паралельна осі циліндра, перпендикулярна до площин його основ (див. рисунок):

Відстанню від осі циліндра до площини перерізу, якщо ця площина паралельна осі циліндра, є перпендикуляр, проведений з точки , до хорди (або з О до АВ).
Зверніть увагу: відрізок є висотою, тобто бісектрисою й медіаною в рівнобедреному трикутнику , де (радіус циліндра).
Хорду АВ видно з центра нижньої основи під кутом АОВ, а з центра верхньої основи — під кутом . Відрізок є бісектрисою, медіаною, висотою рівнобедренного , а є ортогональною проекцією на площу нижньої основи.
Отже, .
Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи (див. рисунок).

Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою , де С — дов­жина кола основи, R — радіус циліндра, H — його висота.

Конус

Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса.
Конус називається прямим (далі просто «конус»), якщо пряма, що сполучає вершини конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи.
Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання ­прямокутного трикутника навколо його катета як осі.
Висота конуса — перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи.
Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту.
Зверніть увагу на рисунок нижче. Так звані «контурні твірні» SA i SB є дотичними до еліпса, який зображує основу конуса, точки A і B не є кінцями великої осі еліпса. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса, а основою є хорда основи.

Розглянемо переріз CSD. Він перетинає основу конуса по хорді CD.
Хорду CD видно з центра основи під кутом COD, а з вершини конуса — під кутом CSD.
Сам переріз — рівнобедрений з основою CD, де — твірні конуса. Його ортогональною проекцією на площину основи конуса є рівнобедрений з основою CD і . Відрізок OK є бісектрисою, медіаною, висотою , відстанню від точки O до хорди CD. Відрізок SK є бісектрисою, медіаною, висотою та відстанню від вершини конуса S до хорди CD. є лінійним кутом двогранного кута між площиною перерізу й площиною основи. Отже, , — кути нахилу твірної конуса до його основи.
Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою , де Sосн — площа основи, — кут нахилу твірної конуса до його основи.

Зрізаний конус

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню — по колу з центром на осі конуса. Така площина відтинає від конуса менший конус. Частина, що залишилась, називається зрізаним конусом (див. рисунок):
;

Зверніть увагу на осьовий переріз зрізаного конуса. Це рівнобічна трапеція, в якої основи — діаметри основ зрізаного конуса, бічні сторони — твірні, висота — висота зрізаного конуса.
Отже, .
Sб , де , — формула для обчислення бічної поверхні зрізаного конуса.

Куля

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які розташовані від даної точки на відстані, що не більша за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань — радіусом кулі. Межа кулі називається кулевою поверхнею, або сферою. Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні й проходить через центр кулі, називається діаметром. Куля є тілом обертання, яке утворюється під час обертання півкруга навколо його діаметра як осі. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну пло­щину.
На рисунку у , OA — радіус кулі, — радіус перерізу, — відстань від центра кулі до площини перерізу (d).
.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом, а переріз сфери — великим колом, або екватором.
Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії.
Площина, яка проходить через точку А кульової поверхні та є перпендикулярною до радіуса, проведеного в точку А, називається дотичною площиною. Точка А називається точкою дотику.
Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.
Пряма, яка належить дотичній до кулі площині й проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці. Вона має з кулею тільки одну спільну точку. Лінією перетину двох сфер є коло.
Площа сфери радіусом R обчислюється за формулою .
Кульовим сегментом називається частина кулі, яку відтинає від неї січна площина.
На рисунку H — висота кульового сег­мента.
Кульовий сегмент обмежується частиною сфери, площа якої обчислюється за формулою , і кругом, який називається основою сегмента.
Кульовий сектор — це кульовий сегмент і конус, вершина якого в центрі кулі, а основою є основа сегмента.

Об’єми тіл

Тіло називається простим, якщойого можна розбити на скінченну кількість трикутних пірамід.
Для простих тіл об’єм — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
1. Рівні тіла мають рівні об’єми.
2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об’єм цього тіла дорівнює сумі об’ємів його частин.
3. Об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

Об’єми многогранників

Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.
.
На рисунках наведені приклади призм із різними основами.

Для прямокутного паралелепіпеда отримаємо , де a, b, c — його виміри.
Для куба , де a — довжина ребра.
Для похилої призми (рисунок нижче зліва) об’єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного перерізу та довжини бічного ребра: .
Об’єм будь-якої піраміди (рисунок справа) дорівнює третині добутку площі її основи та висоти: .

Об’єм зрізаної піраміди (див. рисунок) дорівнює , де H — висота, — площа нижньої основи, — площа верхньої основи.

Об’єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Об’єми круглих тіл

Об’єм циліндра (див. рисунок) дорівнює добутку площі його основи та висоти.
;
.

Об’єм конуса (див. рисунок) дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.
.
.
Об’єм зрізаного конуса (див. рисунок):
.

Об’єм кулі

На рисунку зображено кулю, кульовий сегмент і кульовий сектор.
Об’єм кулі:
, де R — радіус кулі.

Об’єм кульового сегмента:
, де H — висота кульового сегмента,
R — радіус кулі.
Об’єм кульового сектора:
, де R — радіус кулі, H — висота відповідного кульового сегмента.
Іноді треба знайти об’єм або площину поверхні тіла обертання. Щоб правильно уявити собі тіло, яке утвориться при обертанні деякого многокутника навколо деякої прямої, корисно розуміти, що відбувається в таких простих випадках.
1. Відрізок обертається навколо осі, на якій лежить один із його кінців (див. рисунок нижче зліва).
l — пряма. Проведемо . Отже, точка є проекцією B на пряму l. Відрізок AB, обертаючись навколо осі, утворює бічну поверхню конуса з вершиною A, висотою і радіусом основи .
2. Відрізок обертається навколо осі, якій він є паралельним (див. рисунок нижче справа).
Спроектуємо точки A і B на вісь l.
Дістанемо точки і .
Очевидно, що при обертанні AB навколо l дістанемо бічну поверхню прямого кругового циліндра, у якого AB — твірна, вісь — пряма l, радіус основи — .

3. Відрізок обертається навколо осі (див. рисунок), він не є їй паралельним і лежить з нею в одній площині, не перетинаючи осі.
Нехай точки і — проекції точок A і B на вісь l відповідно.

При обертанні AB навколо l дістанемо бічну поверхню зрізаного конуса, у якого AB — твірна, — центр верхньої основи, — центр нижньої основи, — радіус верхньої основи, — радіус нижньої основи.
Якщо навколо осі обертається який-небудь многокутник, треба спроектувати на вісь обертання всі вершини многокутника й розібрати, які фігури утворюють усі його сторони при обертанні.