Определение доверительного интервала и минимального числа измерений при нормальном распределении времени безотказной работы

Как уже упоминалось в разделе 3, рас­пределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участке рисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций близко к нормальному, то есть хорошо описывает­ся законом Гаусса (рисунок 3.4, б). Найдём доверительные границы для математического ожидания М_х величины х, распределённой по нормальному закону. Вначале требуется найти доверительную вероятность

Ρ(ε) = Ρ(|М_хстат - М_х| < ε). (7.15а)

Известно, что величина х распределена по нормальному закону, но ввиду того, что параметры М_х и σ_х этого закона неизвестны, воспользоваться этим законом распределения невозможно. Чтобы обойти это затруднение, ввёдем вместо случайной величины М_х другую случайную величину Т_m:

Т_m = (М_хстат - М_х) / σ_m, (7.15б)

где

(7.16)

В математической статистике доказано, что случайная величина Т_m подчиняется закону распределения Стьюдента, предложенному в 1908 году английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент) [4, 30]:

(7.17)

где Г(n/2) - гамма-функция.

Распределение Стьюдента не зависит от параметров М_х и σх величины х, а зависит только от аргумента t и числа наблюдений n. Распределение Стьюдента позволяет найти доверительную вероятность (7.15 а).

Зададимся произвольным положительным числом t_a и найдем вероятность попадания величины Т_m на участок (-t_a, t_a)

(7.18)

Подставив в левую часть формулы (7.18) вместо Т_m его значение из выражения (7.15 б), получим

(7.19)

где ε = t_a × σ_m, t_a - квантиль распределения Стьюдента для выбранной вероятности Р(ε) и числа степеней свободы r = n - 1.

С помощью табулированной в таблице 7.8 функции t_a можно решать практические задачи по точности оценки величины математического ожидания.

Доверительный интервал находится следующим образом [4]:

1. Задаемся доверительной вероятностью Р(ε). Обычно величину Р(ε) выбирают из значений: Р(ε) = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.

2. Находим величину σ_m с помощью формул (7.7) для D[х_стат] и (7.16).

3. Определяем число степеней свободы r = n –1.

4. По известным значениям r и Р(ε) находим по таблице 7.8 величину t_a.

5. Умножая t_a на σ_m, находим ε = t_a × σ_m - половину длины доверительного интервала.

6. Доверительный интервал будет I_ε = М_{х стат} ± ε.

Пример 7.1.

При испытании десяти устройств, отказы которых распределены по нормальному закону, получены следующие значения времени безотказной работы в часах:

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8	t9	t10

Определить статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1стат, σ_стат и найти доверительный интервал I_ε для Т_1стат с доверительной вероятностью Р(ε) = 0,9.

Решение.

1. Находим по формуле (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1стат

ч. (3.22)

2. Находим величину σ_стат и σ_m с помощью формул (7.7) для D[х_стат] и (7.16) для σ_m:

ч;

ч.

3. Находим:

- по таблице 7.8 при r = n – 1 = 10 – 1 = 9 и Р(ε) = 0,9 величину t_a = 1,83;

- половину доверительного интервала ε = t_a × σ_m = 14,8 ч × 1,83 = 27 ч;

- нижнюю Т_{1 стат Н} и верхнюю Т_{1 стат В} границы доверительного интервала

Т_{1 стат Н} = 130 – 27 = 103 ч; Т_{1 стат В} = 130 + 27 = 157 ч;

- величину доверительного интервала I_ε = (103 ÷ 157) ч.

Таблица 7.8 - Квантили распределения Стьюдента – t_a - для выбранной вероятности Р(ε) и числа степеней свободы r = n – 1 [1, 4, 30]

n	Р(ε)
0,80	0,90	0,95	0,99	0,995	0,999
	3,080	6,31	12,71	63,70	127,30	637,20
	1,886	2,92	4,30	9,92	14,10	31,60
	1,638	2,35	3,188	5,84	7,50	12,94
	1,533	2,13	2,77	4,60	5,60	8,61
	1,476	2,02	2,57	4,03	4,77	6,86
	1,440	1,94	2,45	3,71	4,32	9,96
	1,415	1,90	2,36	3,50	4,03	5,40
	1,397	1,86	2,31	3,36	3,83	5,04
	1,383	1,83	2,26	3,25	3,69	4,78
	1,363	1,80	2,20	3,11	3,50	4,49
	1,350	1,77	2,16	3,01	3,37	4,22
	1,341	1,75	2,13	2,95	3,29	4,07
	1,333	1,74	2,11	2,90	3,22	3,96
	1,328	1,73	2,09	2,86	3,17 _	3,88
	1,316	1,70	2,04	2,75	3,20	3,65
	1,306	1,68	2,02	2,70	3,12	3,55
	1,298	1,68	2,01	2,68	3,09	3,50
	1,290	1,67	2,00	2,66	3,06	3,46
∞	1,282	1,64	1,96	2,58	2,81	3,29

В период износовых отказов величина разброса параметра х, определяющая параметрическую надёжность, связана с величиной разброса времени наступления износового отказа τ, определяющей динамическую точность. Эта связь наглядно показана на рисунке 3.4, а аналитическое выражение для этой связи имеет вид

σ_х = с× σ_τ, (7.20)

где с - коэффициент старения; σ_х - среднеквадратическая ошибка измерения величины контролируемого параметра х, по измерению которого определяют время τ наступления износового отказа; σ_τ – среднеквадратическая ошибка измерения времени τ наступления износового отказа.

Увеличение количества измерений n и увеличение точности этих измерений позволяет увеличить достовер­ность и точность доверительных оценок. Если необходимо произ­вести оценку х_стат с точностью ε и надёжностью Р_Д(t) = 2Ф(t), то при равноточ­ных и независимых измерениях с известной точностью σ_х при нормальном распределении времени безотказной работы в период износовых отказов требуется число опы­тов n, определяемое неравенством [1]

n ≥ {t[Р_Д(t)] / ε_х}² σ_х². (7.21)

В выражении (7.21) t = t[Р_Д(t)] находится при условии Р_Д(t) = 2Ф(t) и t = ε_х / σ_х) пο таблице 7.6, а ε_х - половина доверительного интервала разброса параметра х. Доверительный интервал средней наработки до отказа

I_ε = T_{1 стат} ± ε = T_{1 стат} ± ε_х / с. (7.22)

Если σ_х неизвестна, то необходимое число измерений n можно определить, используя формулу (7.21) и таблицу 7.6, в зависимости от Р_Д(t), ε_х и отношения t = ε_х / σ_{х стат}, где σ_{х стат} - эмпирический стандарт неизвестной ошибки, определяемый по формуле (7.7). При этом в формуле (7.21) следует заменить σ_х на σ_{х стат}.