Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения

Основные теоретические положения.

Прямая может лежать в плоскости, пересекаться о плоско­стью и быть параллельной плоскости.

Если прямая параллельна проецирующей плоскости, то на эпюре будут параллельны одноименные проекции прямой и следа плоскости.

Если прямая параллельна плоскости общего положения, то она должна быть параллельна какой-либо прямой вэтой плоско­сти.

Точка пересечения прямой и проецирующей плоскости на эпюре определяетсякак точка пересечения одноименных проек­ций и следа плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости общего положения определяется с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:

а) через прямую нужно провести вспомогательную проеци­рующую плоскость;

б) построить линию пересечения вспомогательной плоско­сти с заданной;

в) точка пересечения заданной прямой и построенной ли­нии и будет искомой.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, например, главным линиям плоскости, горизонтали h и фронтали f . Тогда проекции прямой l(l1,l2), перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны соответствующим проекциям главных ли­ний плоскости: l1^h1, l2^f2.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной второй прямой.

Примеры решения задач.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой m(rn1, m2) с плоскостью треугольника АВС {рис.51 ). Определить види­мость, прямой относительно заданной плоскости.

Дано: Решение:

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Рис.51.

Через прямую m строится вспомогатель­ная фронтально-проецирующая плоскость b(b2) (можно взять и горизонтально-проецирующую плоскость). В этом случае следна эпюребудет совмещен с проекцией прямой m2. Далее строится линия пересечения 1 2=bÇa, положениекоторой опре­делится точками 1 и 2, полученными от пересечения следа b2, со сто­ронами треугольника. Точка пересе­чения построенной линии с задан­ной прямой К=12Çm и будетискомой точкой встречи. Для определе­ния видимости выбирается по паре конкурирующих точек на каждой про­екции чертежа, например, точки 1, 3 конкурируют относительно p2 . Точка 1 (точка, принадлежащая плоскости) ближе к нам, так как даль­ше удалена от p2 , поэтому она и с ней отрезок АС (1ÎАС ) зак­рывают прямую m, часть которой 3 К будет невидима на фронтальной проекции. В точке пересечения прямой и плоскости видимость сменится и после точки К2 на фронтальной проекции прямая будет видима. Аналогично определяют видимость прямой и плоскости относительно p1, используя, например, конку­рирующие точки 4-5.

Пример 2. Построить перпендикуляр к плоскости a(с||d) длиной 30мм (рис.52).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Дано: Решение:

Рис.52

Для восстановления перпендикуляра к плоскости нужно построить главныелинии плоскости - горизонталь h(h1,h2) и фронталь f(f1,f2).

Перпендикуляр l к пло­скостиможно восстанавливатьиз лю­бойее точки, например, из точки К(К1К2) - точки пересечения горизонтали и фронтали К=hÇf при этом, l1^h1 и l2^h2.

Для того, чтобы отложить на отрезке l заданную длину 30 мм, первоначально задаются произвольной отрезком К5 (точка 5 выбирается произвольно на перпендикуляре l), определяют его натуральную величину помощью треугольника K15150 . После этого от точки К1 вдоль К150 откладывают заданную длину перпендикуляра и отыскивают проекцию L1. С помощью линий проекционной связи отыскивают вторую проекцию точки L2: l(K1L1, K2L2) ^a.

Пример 3. Определить расстояние от точки А до плоскости a(a||b) (рис.53).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Дано: Решение:

Рис.53.

Задача решается в три этапа:

1) из точки А задать направление перпендикуляра к плоскости с помощью главных линий плоскости;

2) найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (пример 1).

3) с помощью прямоугольного треугольника определяем истинную величину отрезка перпендикуляра между заданной плоскостью и точкой встречи перпендикуляра и плоскости. Истинная величина этого отрезка – искомое расстояние между точкой и плоскостью.

Пример 4. Через точку р(р1Р2) Îm(m1,m2) построить плоскость, перпендикулярную прямой m (рис.54).

Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru Дано: Решение:

Рис.54.

Через точку Р нуж­ но провести фронталь f и горизонталь h так, чтобы h1^m1, h2^m2. В этом случае прямая m будет перпендикулярна плоскости, заданной пересекающимися главными линиями m ^b(hÇf).

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. По данной фронтальной проекции прямой а, параллельной плоскости треугольника АВС, построить ее горизонтальную проекцию (рис.55).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Рис.55.

Задача 2. Через точку С построить плоскость, параллельную заданной прямой a. Плоскость задать треугольником (рис.56).

Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru Рис.56

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 3. Провести прямую АВ, параллельную прямой a и пересекающуюся с прямыми m и n (рис.57).

Рис.57.

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 4.Через точку А провести прямую, параллельную плоскости треугольника и профильной плоскости проекций p3 (рис.58).

Рис.58.

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 5. Через точку Е построить плоскость, параллельную прямым АВ и CD(рис.59).

Рис.59.

Задача 6. Найти точку пересечения прямой АВ и плоскости, заданной различными способами. Для варианта а) рис.60 определить видимость прямой относительно плоскости.

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

а) б) с)

Рис.60.

Задача 7. Через точку А провести прямую, пересекающую данные прямые

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

ВС и DE (рис.61).

Рис.61

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 8. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек плоскости (рис.62).

Рис.62.

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 9. Через точку А провести прямую, перпендикулярную a и пересекающую прямую b (рис.63).

Рис.63.

Задача 10. Построить прямую АВ, удаленную от плоскости b(aÇb) на 45 мм (рис.64).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Рис.64

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 11. Определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (рис.65).

Рис.65.

Задача 12. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми (рис.66).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Рис.66.

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Задача 13. На прямой АВ найти точку равноудаленную от концов отрезка DE (рис.67).

Рис.67.

Задача 14. Достроить прямую АВ, перпендикулярную прямой CD(рис.68).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Рис.68.

Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru Задача 15. Построить точку В, симметричную точке А относительно плоскости, заданной треугольником CDE(рис.69).

Рис.69.

Задача 16. Построить точку В, симметричную точке А относительно прямой m(m1,m2)(рис.70).

 
  Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения - student2.ru

Рис.70.

Наши рекомендации