Нормальное распределение времени безотказной работы при постепенных отказах и учёт влияния этих отказов при расчёте надёжности

Рас­пределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участке рисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций, когда все отказы однородны по качеству и имеют малый разброс по времени возникновения, близко к нормальному, то есть хорошо описывает­ся законом Гаусса (рисунок 3.4, б). При отрицательных значениях величины наработки до отказа t плотность распределения наработки до отказа f(t) равна нулю

f (t) = 0, t ≤ 0; (3.64)

В этом случае количественные показатели надёжности имеет смысл рассматривать только при усеченном гауссовском распределении, когда плотность распределения наработки до отказа равна [1]

(3.65)

где σ² и Т₀ – соответственно дисперсия и среднее значение (математическое ожидание) случайной величины t, а с - постоянная усеченного нормального распределения, равная

(3.66)

которая находится из условия нормировки

- табулированные значения интеграла вероятности (нормированной функции Лапласа). Таблица Р_Д(t) = 2×Ф(t) (таблица 7.6) приведена в разделе 7;

(3.67)

Нормированная функция Лапласа является нечётной

Ф(-t) = -Ф(t). (3.68)

Вероятность безотказной работы системы определяется по формуле

(3.69)

Интенсивность отказов λ(t), с учётом выражений (3.10), (3.65) и (3.69), определяют по формуле

(3.70)

Среднюю наработку до отказа определяют по формуле [1]

Т_{1стат ус} = Т₀ + σ×f₁(Т₀ / σ), (3.71)

где f₁(Т₀ / σ) имеет тот же физический смысл, что и f(t) [см. формулу (3.65)].

Непосредственно нормальный закон распределения для расчета показателей безотказности может применяться только в случае, если

Т₀ >> σ. (3.72)

В этом случае постоянная с и средняя наработка до отказа Т_1стат равны

, Т_1стат = Т₀. (3.73)

Безусловная вероятность отказа изделия на временном интер­вале от t₁ до t₂ в этом случае равна [4]

(3.74)

Если условие (3.72) не выполняется, то нормальная плотность распределения (3.65) не является односторонней, т.е. она отлична от нуля и при t < 0. При Т_1стат >> σ этот недостаток практически не сказывается, так как в этом случае частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь. Однако если условие (3.72) не выполняется, то использование нормального распределения может привести к заметным погрешностям. Поэтому на практике используют усеченное нормальное распределение (рисунок 3.4, в). Для этого отсекают часть кривой распределения при t < 0 и вводят с нормирующий множитель с, рассчитываемый по формуле (3.66) чтобы сохранить условия нормирования плотности вероятности [4].

Пример 3.1 [1].

Известно, что исследуемая неремонти­руемая РЭС имеет нормальное распределение наработки до отказа с парамет­рами Т₀ = 520 ч и σ = 150 ч. Требуется определить вероятность безотказной рабо­ты РЭС при наработке t = 400 ч и ее интенсивность отказов.

Решение. Из (3.69) следует, что

Значения функций Лапласа Ф(t) =0,5×Р_Д(t) находим из таблицы 7.6, приведенной в разделе 7: Φ(0,5657) = 0,2157 и Ф(2,4513) = 0,4929. Знак плюс в числителе P(t) появился потому, что функция Ф(t) нечетная, т.е. Ф(-0,5657) = -0,2157. Из (3.70) следует, что

Рассмотрим в общих чертах учёт влияния постепенных отказов при расчёте надёжности для нормального распределения времени безотказной работы [7].

Пусть случайное изменение значения выходного параметра У в партии изделий происходит, например, в сторону его уменьшения во времени τ (рисунок 3.4). Полная вероятность безотказной работы P_П(τ) (по внезапным и постепенным отказам) в момент времени τ определяется по формуле

(3.75)

где P(τ) - вероятность безотказной работы системы по внезапным отказам, рассмотренная в разделе 3.2.2;N - число учитываемых выходных параметров системы, изменение которых во времени может привести к её отказу; P_постi(τ) - вероятность безотказной работы системы по постепенным отказам, связанным с выходом i-го выходного параметра за пределы допустимых значений и возникающим из-за деградационных процессов старения и износа. Так как выход параметра изделия за границы α или β поля считается параметрическим отказом, то вероятность P_постi(τ) называют параметрической надёжностью.

Распределение времени пересечения границы поля допуска реализациями случайных функций, представляющих изменения выходных параметров конкретных изделий во времени - кривая У(τ), характеризует параметрическую надёжность данного типа изделия. Параметрическая надёжность определяется плотностью распределения У(τ) и представляет собой вероятность того, что время непрерывной работы τ_Р изделия будет больше заданного времени τ_ЗАД при условии, что выходной параметр останется в пределах поля допуска:

P_{пост i}(τ) = вер(τ_Р > τ_ЗАД ) при β ≥ У_i ≥ α.(3.76)

Распределение f(У) выходных параметров изделий У в партии в поле допуска характеризует динамическую точность изделий в рассматриваемый момент временя τ. Под динамической точностью D_У понимают вероятность нахождения параметра У изделия в пределах допуска в момент времени τ

D_У(τ) = вер(β ≥У_i ≥ α, τ). (3.77)

Если распределение выходного параметра У подчиняется усеченному нормальному закону распределения, то динамическая точность определяется выражением:

(3.78)

где У_СР (τ) - среднее значение выходного параметра распределения в момент времени τ; σ_У(τ)- среднеквадратичное отклонение выходного параметра У в момент времени τ; С_Н - нормирующий множитель, определяемый по аналогии с формулой (3.73) выражением:

С_Н = Ф[У_СР(τ)] / σ_У(τ). (3.79)

Значения У_СР(τ) и σ_У(τ) определяются путем расчета допусков для партии изделий с учетом старения.

На рисунке 3.5 видно, что в моменты времени τ₂ и τ₃ имеются отказавшие изделий (заштрихованные площади распределений в соответствующих сечениях τ₂ и τ₃ случайного процесса). Расчет параметрической надёжности ведется через динамическую точность [7]. Так как и этот расчет, и учёт в нём процессов деградации сложно осуществлять, то обычно ограничиваются расчетом надёжности изделий по внезапным отказам. Если же параметрическую надёжность учитывать всё же необходимо, то её запас можно оценить по ре
зультатам граничных испытаний, описанных в разделе 6.7.