Критерий согласия χ2 Пирсона
Критерий χ2 Пирсона не требует графического построения закона распределения. Достаточно задаться видом функции F(t), а входящие в нее числовые параметры определяются по данным эксперимента. Пусть произошло n отказов и имеется ряд наработок Т11, Т12, Т13, ..., Т1n устройства. Требуется проверить гипотезу о том, что статистическое распределение наработки устройства согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным и т.д.). Разбиваем ось времени t (0, ∞) на k интервалов Δt ([(0, t1), (t1, t2), ..., (tκ-2, tκ-1),( tκ-1, ∞)]. Рассчитываем теоретическую вероятность Рί попадания в ί-й интервал при одном опыте с помощью статистически определённых параметров предполагаемого распределения. Подсчитываем число nίстат наработок, попавших в ί-й интервал. Затем вычисляется вероятность [4]:
(7.36)
где Δr - мера расхождения; χ2 - функция плотности распределения, вычисляемая из выражения
. (7.37)
Здесь k = l - число интервалов статистического ряда.
(7.38)
где r = к - 1 - число степеней свободы распределения.
По таблице 7.11 можно для каждого значения χ2 и числа степеней свободы r найти вероятность 
.
Если вероятность ≤ 0,1, то выбранное теоретическое распределение следует считать неудачным. В противном случае считают, что взятое теоретическое распределение согласуется с экспериментальным и может быть принято.
Схема применения критерия χ2 в оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:
- определяется χ2 по формуле (7.37);
- находится число степеней свободы r = к - 1;
- по r - числу степеней свободы распределения и χ2 с помощью таблицы 7.11 определяется вероятность ;
- если ≤ 0,1, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная, при > 0,1 гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.
Таблица 7.11 - Квантили распределения χ2 для числа степеней свободы r и выбранной вероятности
| r | Вероятность  | |||||||
| 0,990 | 0,95 | 0,8 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,05 | ||
| 0,115 | 0,352 | 1,00 | 3,67 | 4,64 | 6,25 | 7 81 | ||
| 0,297 | 0,711 | 1,65 | 4,88 | 5,99 | 7 78 | 9,49 | ||
| 0,554 | 1,15 | 2,34 | 6,06 | 7,29 | 9,24 | 11,1 | ||
| 0,872 | 1,64 | 3,07 | 7,23 | 8,56 | 10,6 | 12,6 | ||
| 1,24 | 2,17 | 3,82 | 8,38 | 9,80 | 12,0 | 14,1 | ||
| 1,65 | 2,73 | 4,59 | 9,52 | 11,0 | 13,4 | 15,5 | ||
| 2,09 | 3,33 | 5,38 | 10,7 | 12,2 | 14,7 | 16,9 | ||
| 2,56 | 3,94 | 6,18 | 11,8 | 13,4 | 16,0 | 18,3 | ||
| 3,57 | 5,23 | 7,81 | 14,0 | 15,8 | 18,5 | 21,0 | ||
| 5,23 | 7,26 | 10,3 | 17,3 | 19,3 | 22,3 | 25,0 | ||
| 8,26 | 10,9 | 14,6 | 22,8 | 25,0 | 28,4 | 31,4 | ||
| 22,2 | 26,5 | 32,3 | 44,2 | 47,3 | 51,8 | 55,8 | ||
| 53,5 | 60,4 | 69,2 | 86,1 | 90,4 | 96,6 | 101,9 | ||
| 70,1 | 77,9 | 87,9 | 106,9 | 111,7 | 118,5 | 124,3 |
Пример 7.3 [4].
По данным об отказах изделия во время эксплуатации получен вариационный ряд времени отказов ti в часах: 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 4,5; 5; 7; 8,5; 9; 9,5; 10; 10,5; 11; 14; 16; 17; 18; 18,5; 19; 20; 21; 24; 28; 32; 34; 35; 38; 39; 43; 44,5; 45; 48; 49; 50; 52; 53; 60; 65; 70; 71; 74; 82; 92; 93; 96; 99; 102; 103; 104; 108; 112; 116; 117; 120; 121; 122; 123; 126; 138; 145; 150; 154; 159; 165; 169; 177; 189; 205; 243; 249; 255; 267; 289; 292; 306; 331; 337; 366; 386. Необходимо проверить согласие данных эксплуатации с гипотезой об экспоненциальном распределении, используя критерий χ2 Пирсона.
Решение:
1. Используя вариационный ряд времени отказов, построим статистический ряд с интервалом Δti = 50 ч: (таблица 7.12, первая и вторая строки).
2. Находим по исходным данным задачи с помощью формулы (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т1стат
ч.
Таблица 7.12 - Исходные данные и промежуточные вычисления к примеру
| N0стр. | Δtί , ч | 0 - 50 | 50 - 100 | 100 - 150 | 150 - 200 | 200 - 250 | 250 - 300 | 300 -350 | 350 -∞ |
| nίстат | |||||||||
| Рί | 0,4 | 0,23 | 0,15 | 0,09 | 0,05 | 0,03 | 0,02 | 0,03 | |
| nРί | 18,4 | 7,2 | 2,4 | 1,6 | 2,4 | ||||
| (nίстат - nРί)2 | 42,5 | 1,44 | 1,0 | 2,56 | 1,96 | 0,16 | |||
| (nίстат - nРί)2 / nРί | 0,28 | 2,31 | 0,75 | 0,2 | 0,25 | 1,06 | 1,25 | 0,07 |
3. Строим (рисунок 7.5) теоретическую интегральную функцию распределения времени безотказной работы (зависимость вероятности отказа F(t) от времени t), используя формулу
F(t) = 1 - ехр(-t / Т1стат) = 1- ехр(-t / 100).
4. По формуле (7.37) рассчитываем
. (7.37)
При этом величина частости Рί берется равной приращению теоретической интегральной функции распределения F(t) в i-ом интервале (см. рисунок 7.5). Последовательность расчёта отражена в строках 2…6 таблицы 7.12. В конечном счете, имеем
χ2 = 0,28 + 2,31 + 0,75 + 0,2 + 0,25 + 1,06 + 1,25 + 0,07 = 6,17.
По таблице 7.11 при χ2 = 6,17 и r = к – 1 = 8 – 1 = 7 находим вероятность Р(Î) ≈ 0,5. Так как Р(Î) > 0,1, то гипотезу об экспоненциальном распределении времени безотказной работы можно признать не противоречащей опытным данным.
Литература
1. Яншин А.А. Теоретические основы конструирования, технологии и надёжности ЭВА, - М.: Радио и связь, 1983.
2. Кофанов Ю.Н. Теоретические основы конструирования, технологии и надёжности радиоэлектронных средств. – М.: Радио и связь, 1991.
3. Давыдов П.С. Техническая диагностика радиоэлектронных устройств и систем. – М.: Радио и связь, 1988.
4. Леонов А.И., Дубровский Н.Ф. Основы технической эксплуатации бытовой РЭА. – М.: Легпромбытиздат, 1991.
5. Павленко К.И. Основы эксплуатации РЭО летательных аппаратов. –М.: Военное издательство, 1988.
6. Дубровский В.И. Эксплуатация средств навигации и управления воздушным движением. – М.: Воздушный транспорт, 1995.
7. Конструирование и производство радиоаппаратуры / Под ред. А.К. Майера. - Томск: изд. Томск. ун-та, 1984.
8. Сборник задач то теории надёжности. Под ред. А.М. Половко и И.М. Маликова. – М.: Сов. Радио, 1972 .
9. Шор Я.Б., Кузьмин Ф.Н. Таблицы для анализа и контроля надёжности. – М.: Сов. Радио, 1968.
10. Серафинович Л.П. Статистическая обработка опытных данных. – Томск: изд. Томск. ун-та, 1980, изд. ТУСУР, 1999.
11. Барзилович Ю.Е., Мезенцев В.Б., Сивенков М.В. Надёжность авиационных систем. – М.: Транспорт, 1982.
12. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Констанов В.А. Вопросы математической теории надёжности. - М.: Радио и связь, 1983.
13. ГОСТ 27.001-95. Система стандартов «Надёжность в технике». Основные положения.
14. ГОСТ 27.002-89. Надёжность в технике. Основные понятия. Термины и определения.
15. ГОСТ 27.003-90. Надёжность в технике. Состав и общие правила задания требований на надёжность.
16. ГОСТ 27.301-95. Надёжность в технике. Расчёт надёжности. Основные положения.
17. ГОСТ 27.410-87. Надёжность в технике. Методы и планы контрольных испытаний на надёжность.
18. ГОСТ 27.202-83. Надёжность в технике. Технологические методы оценки надёжности по параметрам качества продукции.
19. Серафинович Л.П. Расчёт надёжности и конструирование радиоэлектронной аппаратуры. – Томск: изд. Томск. ун-та, 1972.
20. Глудкин О.П. Методы и устройства испытаний РЭА и ЭВА. - М.: Высшая школа,1991.
21. Груничев А.С. и др. Испытания радиоэлектронной аппаратуры на надёжность. - М.: Советское радио, 1969.
22. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчёту надёжности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики- М.: Сов. радио, 1975.
23. Левин Б.Р. Теория надёжности радиотехнических систем. - М.: Сов. радио, 1978.
24. Северцев Н.А. Надёжность сложных систем в эксплуатации и отработке.– М.: Высшая школа, 1989.
25. СТ СЭВ 1190-78. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.
26. СТ СЭВ 3542-82. Прикладная статистика. Правила построения и применения вероятностных сеток.
27. Прогнозирование технического состояния авиационной техники. Под. ред. В.Г. Воробьёва и Ю.В. Козлова. - М.: Транспорт, 1977.
28. Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиационного оборудования. Под. ред. И.М. Смирнова.- М.: Транспорт, 1984.
29. Неразрушающий контроль элементов и узлов радиоэлектронной аппаратуры. Под ред. Б.Е. Бердичевского. – М.: Сов. радио, 1976.
30. Алексеев В.П., Озёркин Д.В. Основы научных исследований и патентоведение. – Томск: ТУСУР, 2001.
31. Андерман Д.И., Воробьёв Б.А. Методы и средства испытаний РЭА. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986.
32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1974.
33. Разевиг В.Д. Система схемотехнического моделирования MicroCap 6.- М.: Горячая линия - Телеком, 2001.
34. ГОСТ 27. 402-95. Надёжность в технике. Планы испытаний для контроля средней наработки до отказа (на отказ). Часть1. Экспоненциальное распределение.
35. ГОСТ 27.310-95. Надёжность в технике. Анализ видов, последствий и критичности отказов. Основные положения.
36. Прохоренко В.А., Смирнов А.Н. Прогнозирование качества систем. - Мн.: Наука и техника, 1976.
37. Быков М. Ф.И. др. Диагностика, прогнозирование, неразрушающий контроль и управление качеством ЭА. – Л.: СЗПИ, 1985.
Приложение А. Справочные данные для расчёта надёжности РЭС в курсовых и дипломных проектах
Таблица ПА.1 - Поправочные коэффициенты а1 для расчёта интенсивностей отказов электрорадиоэлементов по формуле λJ = а1 × λJН (4.10), в зависимости от температуры t среды, окружающей элемент, и коэффициента нагрузки kн [1]
| Наименование, тип элемента | Коэффициент нагрузки kн | |||||||||||
| t, °С | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | |||
| Транзисторы кремниевые | 0,16 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 | 0,18 0,19 0, 20 0,21 0,22 0,23 | 0,20 0,22 0,23 0,24 0,26 0,27 | 0,35 0,37 0,40 0,45 0,50 0,56 | 0,43 0,46 0,51 0,55 0,61 0,70 | 0,52 0,55 0,59 0,65 0,71 0,81 | 0,63 0,67 0,72 0,78 0,85 0,97 | |||||
| Транзисторы германиевые | 0,23 0,27 0,32 0,42 0,52 0,63 | 0,26 0,32 0,40 0,50 0,63 0,80 | 0,35 0,45 0,53 0,68 0,86 1,11 | 0,42 0,52 0,66 0,84 1,10 1,40 | 0,50 0,65 0,81 1,08 1,38 1,73 | 0,70 0,83 1,04 1,31 1,65 2,05 | 0,74 0,95 1,22 1,50 1,90 2,35 | |||||
| Диоды кремниевые | 0,77 0,85 0,92 0,98 1,04 | 0,78 0,85 0,92 1,00 1,08 | 0,79 0,86 0,94 1,02 1,11 | 0,81 0,88 0,97 1,05 1,16 | 0,83 0,90 1,00 1,09 1,22 | 0,85 0,92 1,04 1,13 1,30 | 0,88 0,97 1,08 1,19 1,39 | |||||
| Диоды германиевые | 0,15 0,19 0,23 0,32 0,53 | 0,22 0,26 0,32 0,45 0,66 | 0,30 0,35 0,41 0,60 0,86 | 0,39 0,45 0,51 0,76 1,13 | 0,50 0,55 0,63 0,95 1,40 | 0,62 0,66 0,76 1,15 1,75 | 0,74 0,79 0,91 1,41 2,13 | |||||
| Конденсаторы слюдяные не-герметичные | 0,08 0,09 0,10 0,12 0,15 0,22 0,38 0,57 | 0,11 0,13 0,15 0,20 0,26 0,43 0,82 1,36 | 0,22 0,28 0,36 0,45 0,60 0,92 1,70 3,00 | 0,27 0,35 0,46 0,62 0,83 1,46 2,40 3,40 | ||||||||
| Конденсаторы слюдяные герметичные | 0,36 0,38 0,42 0,49 0,61 0,76 0,97 1,30 1,70 | 0,49 0,50 0,54 0,63 0,75 0,96 1,40 2,80 4,50 | 0,18 0,22 0,28 0,36 0,45 0,60 0,92 1,70 3,00 | 0,23 0,27 0,35 0,46 0,62 0,83 1,46 2,40 3,40 | ||||||||
Продолжение таблицы ПА.1.
| Наименование, тип элемента | Коэффициент нагрузки kн | |||||||||
| t, °С | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | |
| Конденсаторы стеклянные, пленочные, металлобумажные | 0,36 0,38 0,42 0,49 0,61 0,76 0,97 1,30 1,70 | 0,49 0,50 0,54 0,63 0,75 0,96 1,40 2,80 4,50 | 0,64 0,70 0,80 0,95 1,19 1,58 2,10 2,70 3,50 | 0,80 0,94 1,10 1,43 2,00 2,30 2,80 3,80 5,00 | ||||||
| Конденсаторы электролитические с алюминиевым анодом | 0,48 0,60 0,90 1,40 2,10 3,60 5,60 8,00 11,4 | 0,40 0,48 0,64 1,17 1,80 2,90 4,40 6,50 9,00 | 0,48 0,60 0,90 1,40 2,10 3,60 5,60 8,00 11,4 | 0,82 1,24 1,73 2,30 4,30 0,65 7,00 11,0 18,0 | ||||||
| Конденсаторы электролитические с танталовым анодом | 0,20 0,22 0,30 0,40 0,50 0,65 0,80 1,00 1,25 | 0,20 0,22 0,30 0,40 0,50 0,65 0,80 1,00 1,25 | 0,20 0,22 0,30 0,40 0,50 0,65 0,80 1,00 1,25 | 0,39 0,41 0,47 0,57 0,70 0,86 1,05 1,30 1,65 | ||||||
| Резисторы непроволочные | 0,20 0,27 0,33 0,40 0,47 0,54 0,61 0,70 | 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0,64 0,71 0,79 | 0,43 0,51 0,59 0,67 0,75 0,84 0,92 | 0,42 0,51 0,60 0,71 0,82 0,94 1,07 1,20 | 0,50 0,62 0,76 0,92 1,08 1,26 1,46 1,66 | 0,60 0,75 0,94 1,17 1,43 1,72 2,05 2,40 | 0,72 0,88 1,11 1,38 1,70 2,04 2,48 2,99 | 0,84 1,07 1,38 1,76 2,17 2,69 3,31 4,04 | 1,00 1,26 1,71 2,22 2,81 3,52 4,40 5,40 | |
| Резисторы проволочные | 0,02 0,06 0,11 0,16 0,18 | 0,02 0,06 0,11 0,17 0,20 | 0,05 0,11 0,18 0,24 0,30 | 0,10 0,19 0,32 0,43 0,52 | 0,20 0,32 0,51 0,73 0,96 | 0,34 0,53 0,79 1,07 1,33 | 0,51 0,69 1,04 1,50 2,00 | 0,73 0,92 1,43 2,26 3,15 | 1,00 1,29 2,18 3,65 5,00 | |
| Моточные изделия, трансформаторы, обмотки электрических машин | 0,10 0,10 0,10 0,20 0,20 0,30 | 0,10 0,10 0,20 0,20 0,30 0,40 | 0,10 0,20 0,20 0,30 0,40 0,60 | 0,20 0,30 0,50 0,80 1,20 2,00 | 0,30 0,60 1,20 1,80 2,50 4,20 | 0,60 1,00 1,80 2,80 4,10 7,20 | 0,801,40 2,40 4,00 6,40 10,7 | 1,00 1,60 3,00 5,20 8,60 14,0 |
Таблица ПА.2 - Средние, максимальные и минимальные значения интенсивностей отказов электрорадиоэлементов [1]
| Наименование элемента | Интенсивность отказов λ, (среднее значение) / (максимальное - минимальное), 10-6 ч-1 |
| Интегральные микросхемы | |
| Гибридные полупроводниковые | 0,075 / (0,1—0,05) 0,02 / (0,03—0,01) |
| Транзисторы кремниевые | |
| маломощные (до 150 мВт) высокочастотные (менее 1 Вт) средней мощности (менее 4 Вт) в ключевом режиме субминиатюрные двойные микроволновые | 0,84 / (1,44—0,45) 0,50 / (1,67—0,16) 0,74 / (0,84—0,21) 0,70 / (0,848—0,25) 2,6 / (4,31—0,87) 9,66 |
| Диоды | |
| Кремниевые Кремниевые карбидные Субминиатюрные двойные | 0,2 / (0,452—0,021) 0,1 / (0,55—0,002) 0,85 / (1,7—0,26) |
| Конденсаторы | |
| Керамические керамические переменные стеклянные танталовые пластиковые нейлоновые электролитические | 0,15 / (1,64—0,042) 0,02 / (0,351—0,012) 0,06 / (0,87—0,0005) 0,6 / (1,934—0,108) 0,135 / (0,178—0,003) 0,01 / (0,014—0,006) 0,035 / (0,513—0,003) |
| Резисторы | |
| композиционные 0,25 Вт композиционные 0,5 Вт композиционные 2 Вт композиционные переменные металлопленочные пленочные прецизионные потенциометры проволочные прецизионные нелинейные | 0,016 0,06 0,071 0,053 / (0,533—0,007) 0,2 / (0,4—0,004) 0,004 0,26 / (0,5—0,02) 0,073 / (0,114—0,032) 0,11 / (0,153—0,047) |
| Дроссели | |
| низкочастотные высокочастотные катушки индуктивности | 0,175 2,1 0,02 / (1,018—0,001) |
| Трансформаторы | |
| Входные выходные высокочастотные импульсные питания разделительные регулировочные | 1,09 / (2,08—0,12) 0,09 0,045 / (0,062—0,019) 0,17 / (0,285—0,03) 0,025 / (0,052—0,012) 0,03 / (0,093—0,011) 0,1 / (0,31—0,035) |
Продолжение таблицы ПА.2.
| Наименование элемента | Интенсивность отказов λ, (среднее значение) / (максимальное - минимальное), 10-6 ч-1 |
| Электродвигатели | |
| асинхронные синхронные постоянного тока сельсины умформеры | 8,6 / (11,2—4,49) 0,359 / (6,20—0,159) 9,36 0,35 / (0,61—0,09) 3,8 / (8,86—1,15) |
| Электровакуумные приборы | |
| тиратроны маломощные тиратроны мощные тиратроны субминиатюрные стабилизатор напряжения (типа СГ2П) лампы неоновые лампы накаливания ЭТЛ с магнитным отклонением ЭТЛ с электрическим отклонением | 6,0 / (15,0—2,5) 5,0 / (11,3—3,0) 1,7 / (4,41—0,28) 1,0 / (2,5—0,4) 0,1 / (1,52—0,019) 0,64 / (1,18—0,1) 1,65 / (3,1—0,94) 1,02/ (2,0—0,96) |
| Коммутационные элементы и соединители | |
| переходные колодки зажимы выключатели магнитные выключатели термические провода соединительные кабели предохранители плавкие изоляторы изолирующие шайбы, прокладки соединение пайкой тумблеры выключатели быстродействующие гнезда соединители штепсельные соединители с контрольным гнездом контакторы реле малогабаритные переключатели кнопочные переключатели блокировочные переключатели миниатюрные | 5,2 / (12,3—0,8) 0,0005 0,358 0,3 / (0,5—0,028) 0,015 / (0,12—0,008) 0,475 / (2,2—0,002) 0,5 / (0,82—0,30) 0,05 / (1,54—0,03) 0,001 0,01 (0,06/К) / [(1,123/К)—(0,015/К)]* (0,4/К) / [(2,1/К)—(0,09/К)]* (0,01/Ш) / [0,02/Ш—002/Ш]* 0,062/Ш * 0,0004/Ш* 0,25/КГ* 0,25/КГ* 0,07/КГ * 0,5/КГ* 0,25/КГ* |
Примечание. Справочные данные для расчёта надёжности РЭС, приведённые в этой таблице, предназначены для использования в учебном процессе, например, в курсовых и дипломных проектах. В этих случаях в расчётах следует использовать средние значения интенсивностей отказов электрорадиоэлементов. Для ответственных инженерных расчётов надёжности значения интенсивностей отказов электрорадиоэлементов конкретного типа следует брать из специальной справочной литературы.
Значения интенсивностей отказа, помеченные значком * приведены соответственно на один контакт (К), штырёк (Ш), контактную группу (КГ).
Справочные данные для расчёта надёжности электрорадиоэлементов, опубликованные в различных источниках иногда отличаются от приведённых в этом приложении [8, 19]. Эти отличия обусловлены двумя причинами: во-первых, тем, что, из-за высокого уровня надёжности электрорадиоэлементов, для определения интенсивностей отказов приходится использовать ускоренные испытания с относительно большой погрешностью определения показателей надёжности, а, во вторых, тем, что при использовании с каждым годом всё более прогрессивных технологий изготовления электрорадиоэлементов интенсивность отказов электрорадиоэлементов уменьшается.