Критерий согласия Пирсона о виде распределения

До сих пор мы предполагали, что закон распределения генеральной совокупности известен. Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К.Пирсона («хи квадрат»). Ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

Варианты…………………… Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru

Эмпирические частоты……. Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru . При уровне значимости Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru (А)

Естественно, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Доказано, что при n®¥ закон распределения случайной величины (А) стремится к закону распределения Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru с Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru степенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность. Поэтому сам критерий называют критерием согласия Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru .

Число степеней свободы определяется из равенства Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru , где s – число групп (частичных интервалов) выборки,
r – число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому число степеней свободы Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru .

Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru :

Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru .

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru , а область принятия нулевой гипотезы – соответственно неравенством Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru . Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, через Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru и по таблице критических точек распределения Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru , по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k=n–3 найти критическую точку Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru . Если Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Отметим два обстоятельства.

Объем выборки должен быть достаточно велик
(не менее 50). Каждая группа должна содержать не менее 5–8 вариант, а малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты.

Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, построить предварительно график распределения и т.п.

Пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты:

Эмпирические частоты
Теоретические частоты

Рассчитаем Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru =7,19, число степеней свободы определим по соотношению k= –3=5 (в нашем случае s=8). Используя рассчитанные значения Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru и k, по таблице критических точек распределения хи-квадрат при уровне значимости Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru находим Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru . Так как Критерий согласия Пирсона о виде распределения - student2.ru , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Наши рекомендации