Технология работы с пакетом Maple

· Общие сведения о СКМ Maple

Работа в СКМ Maple организована в диалоговом режиме: вопрос – ответ в отдельном блоке. Блок выделяется слева квадратной скобкой, длина которой зависит от размеров и количества исходных выражений (вопросов) и результатов вычислений (ответов). Строка ввода математических выражений имеет отличительный символ >.

Алфавит языка содержит 26 прописных и строчных латинских букв (от A до Z и от а до z), 10 арабских цифр (0 – 9) и 32 специальных символа. Идентификатор должен быть уникальным, начинаться с буквы и может содержать буквы, цифры и знак подчеркивания. Maple различает прописные и строчные символы.

Выражение задается с помощью функций и операторов, записываемых в командной строке. Результат вычислений (по умолчанию) возвращается в виде математических формул. Ввод выражения завершается символом фиксации конца выражения – точкой с запятой, если ответ выводится в ячейку вывода, или двоеточием, если ответ не выводится.

Выражения формируются из операторов и операндов. Операндами могут быть константы, переменные и значения функций.

В СКМ Maple могут использоваться следующие операторы:

+ - оператор сложения		-> - функциональный оператор
- - оператор вычитания		< - менее чем
* - умножение		> - более чем
/ - деление		= - равно
**, ^ - возведение в степень		<= - менее чем и равно
! – факториал		>= - более чем и равно
. – десятичная точка		<> - неравно
:= - оператор присваивания		or – логическое ИЛИ
and – логическое И

· Функции

Важным понятием СКМ Мaple является понятие функции. Функция возвращает результат некоторого преобразования исходных данных - параметров функции.

Встроенные функции Мaple хранятся в его ядре и пакетах расширений. Дополнительные функции из пакетов расширения должны применяться после объявления загрузки пакета с помощью команды ,

with (name),

где name — имя применяемого пакета.

Практически все функции задаются именем и аргументом, в качестве которого может задаваться математическое выражение.

Математические функции(все они известны):

Sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arcos, arctan.., exp...,sqrt…

ilog10, ilog - целочисленные логарифмы (ilog10(25)=1);

ln, log, log10, sqrt, abs.

Некоторые целочисленные функции:

factorial(n) – альтернатива !;

iquo (a,b) – частное от деления а на b;

irem (a,b) – остаток от деления а на b;

igcd(a,b) - наиб. общий делитель;

lcm – наименьшее общее кратное;

Функции с элементами сравнения:

ceil – наименьшее целое >=x;

floor – наибольшее целое <=x;

frac– дробная часть числа х;

trunc–меньшее целое, округленное в направлении к нулю;

round–округленное значение числа;

signum–функция знака (-1, 1);

Функции пользователя в СКМ Мaple могут задаваться следующим образом:

1. Присваивание (с помощью оператора присваивания :=) Пример:

> m:=sqrt(x^2+y^2);

> x:=3: y:=4: m;

2. C помощью оператора à в фомате:

name:=(x,y,…) à expr;

Вызов функции осуществляется в виде:

name(x,y) , где x,y – список формальных параметров.

Пример:

>restart;

>x:=o;y:=0;

>m:=(x,y)->sqrt(x^2+y^2);

>m(3,4);

>m(0,1);

>[x,y];

3. C помощью оператора unapply в фомате:

name:= unapply(expr, var1, var2,..);

Пример:

>restart;

>fm:=unapply(sqrt(x^2+y^2),x,y);

> m:=fm(3.,4);

Для оценивания выражения, т.е. представления его в числовом виде существует функция evalf ( из группы eval).

Ее формат: evalf(expr, n)–вычисляет expr и возвращает вычисленное значение в форме с плавающей точкой, имеющей n цифр после десятичной точки. Параметр n является необязательным, при его отсутствии n=10.

>evalf(m);

>evalf(m,2);

m=

Количеством выводимых после десятичной точки цифр можно управлять, задавая значение системной переменной Digits:

>Digits:=3;evalf(m);

· Типовые средства графики

В само ядро Maple встроено ограниченное число функций графики. Это, прежде всего, функция для построения двумерных графиков plotи функция для построения трехмерных графиков plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов в различных системах координат, как на плоскости, так и в трехмерном пространстве. Для построения графиков более сложных типов необходимо подключать пакеты расширений Maple.

Для построения двумерных графиков используется команда plot.

Формат:

plot(function, variable_x {,variable_y}{option});

где function – функция, график которой строится;

variable_x– переменная, указывающая область изменения по горизонтали;

variable_y–переменная, указывающая область изменения по вертикали;

option – набор опций, задающий стиль построения графика функции.

При построении графиков функцию можно определять через переменную.

Для двумерной графики можно включать следующие опции:

- numpoints – изменение количества точек графика (по умолчанию=49);

- color – задание цвета кривой графика;

- title – добавление заголовка графика (например, title=”string”);

- coords – выбор системы координат, этот параметр задает 15 типов координатных систем. По умолчанию задана прямоугольная система координат;

- axes– задание типа осей координат (frame - рамка, boxed - прямоугольник, normal - ортогональные, none – без осей);

- thickness – толщина линии графика;

- xtickmarks, ytickmarks – управление числом меток на оси, т.е. задает минимальное число отметок по оси х и у соответственно;

- style – стиль построения графика (line – выводится интерполяционная кривая, point – выводятся точки);

- scalling – масштаб графика (constrained – сжатый, unconstrained - несжатый);

- size – размер шрифта в пунктах;

- symbol – тип точки графика в виде символа (box - прямоугольник, cross - крест, circle - окружность, point – точка, diamond - ромб);

- titlefont – шрифт для заголовка;

- labelfont – шрифт для меток (labels) на осях координат;

- view=[A,B] – определение максимальной и минимальной координат, в пределах которых график будет отображаться на экране, где A=[xmin..xmax], B=[ymin..ymax].

Примеры построения двумерных графиков различных видов

1. Построение графика неявно заданной функции sin(x)/x на интервале -15..15 (см. рис. 1).

> plot(sin(x)/x, x=-15..15,color=red, title="график");

Рис.1. График функции sin(x)/x

2. Построение графика функции sin²(x) определенной c помощью оператора присваивания, на интервале x=-5..5,y=0..0.5, черного цвета в виде совокупности точек (см. рис. 2).

>fun:=sin(x)^2;

3. Построение графиков трех функций sin(x),sin(x)/x, sin(x³/100) линиями трех цветов и трех типов (см. рис. 3).

> plot([sin(x),sin(x)/x,sin(x^3/100)],x=10..10, color = [black,blue,red],style=[line, line, point]);

Рис.3. График трех функций

Для построения трехмерных графиков Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d. Она может использоваться в следующих форматах:

plot3d(expr1, x = a..b, y = c..d, p),

plot3d(f, a..b, c..d, p),

plot3d([exprf, exprg, exprh], s = a..b, t = c..d, p),

plot3d([f, g, h], a..b, c..d, p).

Здесь p – параметры, с помощью которых можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков.

Трехмерными называют графики, отображающие функции двух переменных z(x,y). На деле трехмерные графики представляют собой объемные проекты в аксонометрии.

Пример построения трехмерного графика.Построить поверхность h² в цилиндрической системе координат (см. рис. 4).

> plot3d(h^2,a=-Pi..Pi,h=-5..5, coords=cylindrical, style =patch, color=sin(h));

Рис.4. Пример трехмерного графика

· Решение уравнений

Для решения уравнений, неравенств и их систем в СКМ Maple используется функция solve, которая возвращает последовательность решений.

Формат

solve(eqn, var);

где eqn – уравнение, неравенство или процедура;

var – имя переменной.

Уравнение и его решение можно представлять в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной.

Пример

> y:=x^2+2*x-3;# задание уравнения через переменную eqn

> rez:=solve(y,x);# решение уравнения и присвоение корней переменной rez.

> x1:= rez [1];# присвоение первого корня переменной х1

> x2:= rez [2];# присвоение второго корня переменной х2

> subs(x=x1, y);# подстановка первого корня в уравнение

> subs(x=x2, y);# подстановка первого корня в уравнение

Если решений нет или функция не может найти решение, то возвращается пустая последовательность NULL. В этом случае целесообразно использовать функцию fsolve, которая возвращает корень уравнения в форме вещественного числа.

Формат

fsolve(eqn, var);

eqn – уравнение, неравенство или процедура;

var – имя переменной.

Пример

> solve(exp(x)+ln(2*x)-4.2*x);

Как видно из результата решения данного уравнения, корень представлен с использованием мнимой единицы, что не дает представления о его числовом значении, поэтому для его решения следует воспользоваться командой fsolve.

> fsolve(exp(x)+ln(2*x)-4.2*x);

· Решение систем линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve. Такое решение в силу простоты записи может быть предпочтительным. Для решения система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств, то есть с использованием фигурных скобок.

Пример

> sys:={3*x1-4*x2-x3=10,6*x1-8*x2-3*x3=19,-x1+x2+x3=-3};

> rez:=solve(sys,{x1,x2,x3});

> subs(rez={x1,x2,x3},sys); # подстановка результатов в СЛАУ

· Вычисление интегралов

Вычисление неопределенного интеграла обычно заключается в нахождении первообразной функции.

Для вычисления неопределенных интегралов Maple представляет следующие функции:

Int(f,x) – отложенного действия

int(f,x) - прямого действия

Для вычисления определенных интегралов Maple представляет следующие функции

Int(f,x=a..b, continuous) – отложенного действия;

int(f,x=a..b, continuous) - прямого действия;

Здесь f – подынтегральная функция,

x – переменная, по которой выполняются вычисления,

аиb –верхний и нижний пределы интегрирования.

continuous – необязательное дополнительное условие.

Для вычисления значения определенного интеграла необходимо использовать функцию evalf:

evalf(int(f, x=a..b)).

Если верхним пределом интегрирования является бесконечность, то в функции int она обозначается словом infinity.

Пример:

>restart;

>Int(sin(x)/x, x=0..1.)=int(sin(x)/x, x=0..1.);

>Int(x*exp(-x),x=0..infinity)=int(x*exp(-x), x = 0..infinity);

· Вычисление производных

Вычисление производных функций fⁿ(x)=dfⁿ(x)/dxⁿ– одна из самых распространенных задач мат. анализа. Для ее реализации Maple6 имеет следующие основные функции:

diff(a,x1,x2,…,xn) diff(a,[x1,x2,…,xn])

Diff(a,x1,x2,…, xn) Diff(a,[x1,x2,…,xn])

здесь a– дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности функция f(x1, x2,…,xn)ряда переменных, по которым производится дифференцирование.

Функция Diffявляется инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного вычисления производной в документах.

В простейшей форме diff(f(x),x)вычисляет первую производную функции f(x)по переменной x. При nбольшем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например diff(diff(f(x),x),y).Или же для вычисления производных высокого порядка можно использовать оператор $.Напримервыражениеdiff(f(x), x$4),вычисляющее производную четвертого порядка по x,эквивалентно по записи diff(f(x),x,x,x,x).

Примеры:

>Diff(a*x^n,x)=diff(a*x^n,x);

>Diff(sin(x),x)=diff(sin(x),x);

>f(x,y):=cos(x)*y^3;

>Diff(f(x,y),x)=diff(f(x,y),x);

>Diff(f(x,y),x$2,y$2)=diff(f(x,y),x$2,y$2);