Среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M_x. В данном случае M_x = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

Математическое ожидание M_x случайной величины x равно:

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и M_x эквивалентны.

Пример 1

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Решение

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей: 0,2 0,8 Значит, Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x_1/2 такое, что p (x < x_1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p₁ того, что случайная величина x окажется меньшей x_1/2, и вероятность p₂ того, что случайная величина x окажется большей x_1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Используя вероятности p_i того, что величина x принимает значения x_i, эту формулу можно переписать следующим образом:

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Пример 2

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.

Решение

Имеем: Dx = 0 · (1 – 2,8)2 + 0,2 · (2 – 2,8)2 + 0,8 · (3 – 2,8)2 = 0,16. Ответ. 0,16, 0,4.

Модель 4.6. Стрельба в мишень

Пример 3

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение

Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Математическое ожидание M_x = 3,5 (см. пример в начале параграфа).

С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x_1/2 = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так.

Дисперсия:

Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.

Свойства математического ожидания:

• Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Mx + y = Mx + My.

• Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Mx · y = Mx · My.

Пример 4

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

Решение

В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M (x) = 3,5. Значит, для двух кубиков

Mx + y = Mx + My = 7,

Mxy = Mx · My = 3,52 = 12,25.

Свойства дисперсии:

• Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:

D_{x + y} = D_x + D_y.

Пример 5

Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.

Решение

Случайный процесс можно представить, как сумму единичных бросков. Для единичного броска

Mx = 3,5, Dx = 2,9,

Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда

My = 3,5 N,

Если z – среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков: то:

Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:

Доказательство:

Действительно,

Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению,

Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно

Среднее квадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
При определении среднего квадратического отклонения при достаточно большом объеме изучаемой совокупности (n > 30) применяются формулы:
– среднее квадратическое отклонение простое (или невзвешенное);
– среднее квадратическое отклонение взвешенное, где:
x_i – значения изучаемого признака (варианты);
n – объем статистической совокупности;
– средняя арифметическая величина.

Среднее квадратическое отклонение характеризует разброс значений относительно среднего (математического ожидания). Обозначается как σ(x) или s(x).

Рассчитать среднеквадратическое отклонение можно разными калькуляторами, в зависимости от исходных данных. Ниже представлены наиболее распространенные из них.