Понятие системы счисления. Виды систем счисления
Арифметические основы ЭВМ. Арифметические операции в позиционных системах счисления.
План.
1. Понятие системы счисления. Виды систем счисления.
a. Двоичная система счисления.
b. Восьмеричная система счисления.
c. Шестнадцатеричная система счисления.
d. Двоично-десятичная система счисления.
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
a. Получение десятичного эквивалента q-ичного числа.
b. Перевод целых чисел.
c. Перевод дробных чисел.
d. Табличный способ перевода.
3. Упражнения для самостоятельной работы.
4. Арифметические действия в двоичной системе счисления.
5. Арифметические действия в восьмеричной системе счисления.
6. Арифметические действия в шестнадцатеричной системе счисления.
7. Упражнения для самостоятельной работы.
Понятие системы счисления. Виды систем счисления.
Система счисления соглашение о представлении чисел посредством конечной совокупности символов, называемой алфавитом.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционной системе счисления величина каждой цифры зависит от ее места положения в числе (например, десятичная система счисления). В непозиционной системе счисления величина каждой цифры фиксирована и не зависит от ее положения в числе. Пример непозиционной системы счисления - римская, в которой числа изображаются буквами латинского алфавита:
I всегда означает 1
V всегда означает 5
X всегда означает 10
L всегда означает 50
C всегда означает 100
D всегда означает 500
M всегда означает 1000
В римской системе счисления значения записанных рядом букв в изображении числа складываются, но если меньшее число стоит в изображении слева от большего, то оно вычитается.
Пример:
MDCLXXVIII=1000+500+100+50+10+10+5+1+1+1=1678
CCXLVII=100+100-10+50+5+1+1=247
MCDXXIX=1000+500-100+10+10+10-1=1429
В непозиционных системах счисления очень сложно выполнять арифметические операции (действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют строгих правил), и в этих системах нельзя выражать отрицательные и дробные числа. Поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления.
Число Nq в системе счисления с основанием q записывается в виде: Nq = an-1an-2...a1a0,a-1...a-m, где
ai – цифры системы счисления
n - число разрядов целой части
m - число разрядов дробной части
В случае, если q=10, основание системы счисление не подписывают.
Пример: 51246, 10102, AD2016, 5078.
В позиционной системе счисления с основанием q любое положительное число Nq может быть представлено в виде суммы степеней основания q с соответствующими коэффициентами аi:
Nq = an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... +a1q + a0 + a-1q-1 + ... + a-mq-m = 
(*)
где аi = 0, 1, 2, ..., q-1.
Запись (*) еще называют систематической записью числа в системе счисления с основанием q.
Так в привычной нам десятичной системе счисления:
567,8910=5·100+6·10+7+0,8+0,09=5·102+6·101+7·100+8·10-1+9·10-2
1101,1012=1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3
В вычислительной технике обычно используются системы счисления: двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная; двоично-десятичная.
Двоичная система счисления.
Любая информация в современных ЭВМ представляется последовательностью 0 и 1 (бит). Это обусловлено тем, что большинство элементов, из которых состоит ЭВМ, по своей физической природе могут находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний: “Включено”, “Выключено”. Такие элементы принято называть двухпозиционными. С помощью двухпозиционных элементов легко изображаются разряды двоичного числа. Одно из устойчивых состояний соответствует цифре 0, а другое - цифре 1.
В этом отношении двоичная система счисления имеет преимущества перед остальными системами и поэтому оказывается очень удобной для применения в ЭВМ. В двоичной системе счисления легко реализуются арифметические операции, что дает возможность значительно упростить конструкции вычислительных устройств по сравнению с устройствами, работающими в других системах.
Кроме того, двоичная система счисления по плотности представления информации является одной из наиболее близких к оптимальной.
В двоичной системе счисления основание системы равно 2 и для представления чисел используются только два символа (2 цифры): 0 и 1. Любое число N в двоичной системе счисления представляется в виде суммы степеней основания 2 с соответствующими коэффициентами:
N = an-12n-1+an-22n-2+...+a121+a0+a-12-1+...+a-m2-m= 
где ai = 0; 1.
Затем с помощью этих коэффициентов число записывается в сокращенной форме.
Например, десятичное число 23,625 можно представить в виде суммы: 23,625 = 1.24+0.23+1.22+1.21+1.20+1.2-1+0.2-2+1.2-3.
Отсюда может быть получена его запись в двоичной системе счисления: 23,625(10) = 10111,101(2) .
При разложении числа используют таблицу степеней основания, отсюда этот способ перевода чисел получил название табличный.
Поскольку двоичная система широко используется, полезно знать степени числа 2:
| 20=1 21=2 22=4 23=8 | 24=16 25=32 26=64 27=128 | 28=256 29=512 210=1024 |
Восьмеричная система счисления
Для ускорения процесса перевода чисел бывает удобнее воспользоваться восьмеричной системой счисления, в которой число представляется в виде суммы степеней основания восемь:
N = bn-18n-1+...+b282+b181+b0+b-18-1+...+b-m8-m= где bi = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Шестнадцатеричная система счисления
В ЭВМ в качестве единицы информации или объема памяти используют не бит, а байт, содержащий 8 двоичных разрядов. Один полубайт соответствует одному разряду шестнадцатеричного числа 24 = 16. Поэтому для более компактного отображения двоичного числа удобнее представлять его в шестнадцатеричной системе счисления, в которой используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Каждой цифре шестнадцатеричного числа ставят в соответствие его двоичный эквивалент - тетраду.
Иногда полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления и десятичной системе счисления (таблица)
| Эквиваленты в системах счисления | |||
| 10 СС | 2 СС | 8 СС | 16 СС |
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F |
Двоично-десятичная система счисления
Входная информация в ЭВМ обычно представляется в десятичной системе счисления, а затем по специальным программам переводится в двоичную. Однако для того чтобы можно было обрабатывать десятичные числа в машине, их необходимо представить в форме, удобной для машины. С этой целью производится кодирование каждой десятичной цифры с помощью двоичных элементов.
Двоично-десятичное представление является наиболее простым представлением, где каждая десятичная цифра, представляется своим четырех-разрядным двоичным эквивалентом - “тетрадой”.
Десятичные цифры от 0 до 9 кодируются тетрадами от 0000 до 1001, тетрады 1010-1111 запрещены, т.к. используются для представления десятичных чисел больших девяти. При обратном преобразовании каждая двоичная тетрада интерпретируется как десятичная цифра.
Пример: представим десятичное число 3759 в двоично-десятичной форме
375910=0011 0111 0101 1001=110111010110012-10
Пример: представим двоично-десятичное число 1000010110010011 в десятичной форме
10000101100100112-10=1000 0101 1001 0011=859310
Пример: 237,82(10) = 1000110111,1000001(2-10).