Аксиомы стереометрии и их следствия
| Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. | |
| Замечание: если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). | |
| Замечание: Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. | |
| Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. |
| Теорема 1. (первое следствие из аксиом) Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. | |
| Теорема 2.(второе следствие из аксиом) Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. |
- Решение задач.
Задача №1.
Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в плоскости?
Решение:
Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример. Пусть окружность с диаметром AB лежит в плоскости , которая пересекается с плоскостью по прямой AB. Тогда точки A и B окружности лежат в плоскости , но вся окружность не лежит в этой плоскости.
Задача №2.
Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обосновать.
Решение:
Утверждение верно. Действительно, пусть Согласно первому следствию из аксиом через прямую и точку D проходит единственная плоскость . Все четыре точки лежат в плоскости .
Задача №3.
Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь четырехугольника, если AC BD, AC = 10 см, BD = 12 см.
Решение:
Согласно второму следствию из аксиом, пересекающиеся прямые AC и BD определяют некоторую плоскость . Прямая АС лежит в плоскости , следовательно все ее точки, в том числе А и С, принадлежат этой плоскости: Аналогично имеем: так как то
Воспользуемся формулой , где - диагонали четырехугольника, а - угол между ними: .
Ответ: .
· Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости, если известно, что этой плоскости принадлежит:
a. Две различные точки дуги.
b. Три различные точки дуги.
· Сколько различных плоскостей можно провести:
a. Через одну точку.
b. Через две различные точки.
c. Через три различные точки.
d. Через четыре точки, никакие три из которые не принадлежат одной прямой?
· Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с ними в одной плоскости?
· Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть одной точкой, двумя различными точками, тремя различными точками?
· Столяр с помощью двух нитей проверяет будит ли устойчиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки. Как он это делает.
Контрольные вопросы и задания:
Задача №1.
Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
Задача №2.
Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
Задача №3.
Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B, O лежат в плоскости .
Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, .