Следствия из аксиом стереометрии

Аксиомы стереометрии

· Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

· Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку.

· Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом единственную.

· Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии.

Следствия из аксиом стереометрии

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Простейшие фигуры в пространстве, как они обозначаются

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Взаимное расположение прямой и полоскости

Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1. Прямая принадлежит плоскости.
2. Прямая параллельна плоскости.
3. Прямая пересекает плоскость.

Признак праллельности 2-х полоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плосткости

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Двугранный угол

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.

Мера двугранного угла

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Угол между прямой плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Угол между полоскотями

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

Основные виды чисел

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, чтоZ={1,2,3,....}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. Также в качестве примеров рациональных чисел можно привести: , , .

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

Абсолютная погрешность

Под абсолютной погрешностью измерения понимают разность между полученным в ходе измерения и истинным значением физической величины:

Относительная прогрешность

Относительная погрешностьпредставляет собой отно­шение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

Округление чисел

Под округлением понимают отбрасывание одной или нескольких последних цифр в десятичном представлении числа. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из сохраняющихся цифр увеличивается на 1. Если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней следуют одна или несколько значащих цифр, то последняя из сохраняющихся цифр также увеличивается на 1.

Сложение комплексных чисел

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Умножение комплексных чисел

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = –1.

Деление комплексных чисел

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Модуль комплексного числа

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b·i обозначается |a + b·i|, а также буквой r.

Логарифмы и их свойства

Логарифм положительного числа по основанию (обозначается ) — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить . b > 0, a > 0, а≠ 1.

1. Свойства:

2. Если x > 0

3. Если x > 0,

4. Если b > 0, b ≠ 1, x > 0,

5. Если x > 0,

Десятичные логарифмы

Логарифм, взятый по основанию 10, носит название — десятичный логарифм.

Действия с логарифмами

логарифм произведения:
логарифм частного:
логарифм степени:
логарифм корня:
переход к новому основанию:
Дополнительные формулы:

Радинная мера угла

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, для которой данный угол является центральным, к длине радиуса этой дуги.

Опеределение синуса угла

Это отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinx = а/с

Опеределение косинуса угла

Это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosx= в/с

Опеределение тангенса угла

Это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgx = а/в

Формулы приведения

Сумма и разность синусов

Сумма и разность косинусов

Арксинус угла

arcsin - тригонометрическая функция, арксинус.
arcsin(х) - это угол, синус которого равен "х", в том случае если "х" лежит в пределах от минус единицы до плюс единицы.

Арккосинус угла

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

Арктангенс угла

Арктангенсом числа m называется такое значение угла , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

Аргкотангенс угла

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.

Прямоугольная декартова

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

Уравнение сферы

Уравнение сферы с центром A (a; b; c) и радиусом R имеет вид: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

Уравнение прямой

y = k x+ b

Векторы , модуль вектора

Вектор — это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам).

Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего вектора и обозначается как .

Равенство вектора

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.
Т.е. существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно.
Теорема
Если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Сложение вектора

Суммой двух векторов и называется вектор , направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора .

Угол между векторами

Угол между векторами

Проекция вектора на ось

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка , взятая со знаком "+", если направление совпадает с направлением вектора , и со знаком "-", если направление противоположно направлению единичного вектора оси (рис. 1).

Координаты вектора

На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.

Аксиомы стереометрии

· Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

· Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку.

· Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом единственную.

· Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии.

Следствия из аксиом стереометрии

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.