Із середини М сторони АВ правильного трикутника АВС проведено до площини трикутника перпендикуляр МN; точка N сполучена з С. Доведіть, що СN АВ.Варіант 14
1. Які з наведених нижче тверджень правильні:
1) дві площини паралельні одній і тій самій прямій паралельні між собою;
2) пряма має спільну точку з однією з паралельних площин і не перетинає другу?
А) жодне; Б) перше; В) друге; Г) обидва.
2.Через точку М, що належить ребру ВD тетраедра АВСD, проведено площину, паралельну площині АВС. У скільки разів площа трикутника АВС більша за площу перерізу тетраедра АВСD даною площиною, якщо DМ : МВ = 1 : 3?
А) у 3 рази; Б) у 4 рази; В) у 9 разів; Г) у 16 разів.
3. ABCDA1B1C1D1 паралелепіпед. Площинам яких граней паралельна пряма AD?
А) ABB1A1; Б) DD1C1С; В) A1B1C1D1; Г) AB1C1D.
4. Квадрат перегнули по діагоналі ВD так, що площини АВD і СВD стали перпендикулярними. Знайдіть відстань між точками А і С, якщо сторона квадрата дорівнює 1.
А) ; Б) 1; В) ; Г) 2.
5. Трикутник А1В1С1 – проекція рівностороннього трикутника АВС. На стороні А1В1 відмічені точки K, L, N так, що А1К = KL = LN = NB1. Укажіть проекцію висоти трикутника АВС, опущеної з вершини С.
А) С1К; Б) С1L;
В) C1N; Г) задача має неоднозначну відповідь.
6. Складіть рівняння кола що дотикається осі абсцис, якщо його центр знаходиться у точці А (1; 2).
7. Через вершину А паралелограма АВСD проведено площину α. Через точки В, С, D проведені паралельні прямі, які перетинають α в точках В1, С1 і D1 відповідно. Знайдіть СС1, якщо ВВ1 = 3 см, DD1 = 8 см.
8.Відрізок ВМ перпендикулярний до площини прямокутника АВСD. Доведіть, що пряма СD перпендикулярна площині МВС.
Варіант 15
1.Точка О—центр правильного трикутника АВС, ОМ – перпендикуляр до площини АВС і ОМ = см, АО = 3 см. Знайдіть кут нахилу МА до площини трикутника АВС.
А) 60°; Б) 30º; В) 45°; Г)900.
2. Площина, перпендикулярна до катета АВ прямокутного трикутника АВС, перетинає його в точці М, а гіпотенузу АС — в точці N. Знайдіть МN, якщо АN = NС = 5, СВ = 6.
А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 8.
3. Кінці відрізка АВ лежать у перпендикулярних площинах і β. Точка А віддалена від площини β на см , а точка В від площини – на см. Порівняйте значення параметрів і , якщо даний відрізок утворює кути 40º і 80º з площинами і β відповідно.
А) відповідь залежить від довжини відрізка АВ; Б) ;
В) ; Г) .
4. Яким може бути взаємне розташування двох прямих, одна з яких лежить в площині, а друга паралельна цій площині?
А) перпендикулярні; Б) паралельні;
В) паралельні або мимобіжні; Г) мимобіжні.
5. PАВСD – чотирикутна піраміда (мал. 1).Через точки С1 і С2, що належать ребру PС, паралельно до площини АВР проведено площини і відповідно. Площі перерізів піраміди PАВСD цими площинами дорівнюють S1 і S2 відповідно. Порівняйте величини S1 і S2, якщо це можливо.
А) S1 > S2; Б) S1 < S2;
В) S1 = S2; Г) порівняти неможливо.
6.У колі проведено дві хорди, що перетинаються. Одна з них ділиться точкою перетину на відрізки 2 см і 6 см, а довжина другої — 7 см. Знайдіть відрізки другої хорди.
7. Побудуйте переріз прямої призми АВСA1B1C1 площиною, що проходить через точку B1 та точки М і К, що лежать на ребрах АС і АА1 відповідно.
8. Точка М знаходиться на відстані 3 см від кожної з вершин паралелограма, сторони якого відносяться як 2 : 1. Знайдіть площу цього паралелограма, якщо відстань від точки М до площини паралелограма дорівнює 2 см.
Варіант 16
1. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то як розташовано другу пряму по відношенню до третьої?
А) паралельна; Б) перпендикулярна;
В) мимобіжна; Г) співпадають.
2. АВСDA1B1C1D1 − куб. Укажіть пряму перетину площин DВA1 і DВC1.
А) АВ; Б) D1B1;
В) DВ; Г) АС.
3. Паралелограм АВСD і трапеція АDFK (АD׀׀FK) не лежать в одній площині. Як розташовані пряма ВС і площина АКF?
А) пряма лежить в площині;
Б) пряма та площина перетинаються;
В) пряма та площина паралельні;
Г) визначити неможливо.
4. Кінці відрізка віддалені від площини на 2 см та 8 см. Проекція його на площину дорівнює 8 см. Якою є довжина самого відрізка?
А) 2 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 5 см.
5.На площині взято точку А (мал. 3). Знайдіть відстань від даної точки до прямої перетину площин і β , якщо дана точка віддалена від площини β на 4 см, а кут між площинами дорівнює 45º.
А) 4 см; Б) см;
В) 8 см; Г) см.
6.У трикутнику, площа якого дорівнює 48 см2, проведено середню лінію. Знайдіть площу трикутника, який утворився.
7. Точка М – середина ребра ВС піраміди SABC. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точку М і паралельна площині ASC та знайдіть площу перерізу, якщо SA = 24 см, SC = 10 см, АС = 26 см.
8. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстаньміж діагоналлю куба і діагоналлю основи куба, які не мають спільних точок.
Варіант 17
1. Через точку D проведено пряму DС , перпендикулярну до площини прямокутного рівнобедреного трикутника АВС ( С=90º). Відстані від точки D до точок А і В дорівнюють а см і b см відповідно. Порівняйте значення параметрів а і b, якщо це можливо .
А) a = b; Б) a < b; В) a > b; Г) порівняти неможливо.
2.АВСDA1B1C1D1 − прямокутний паралелепіпед. Укажіть пряму, по якій перетинаються площини АСВ1 і АСD1.
А) АВ; Б) А1С1;
В) DВ; Г) АС.
3.Відрізок АВ не перетинає площину β, А1В1 − проекція відрізка АВ на площину β, АА1 = 2 см, ВВ1 = 10 см. Знайдіть відстань від середини відрізка АВ до площини β.
А) 6 см; Б) 8 см; В) 4 см; Г) 12 см.
4. Кожна з площин α та β перпендикулярна до площини γ. Яким є взаємне розташування площин α та β ?
А) перпендикулярні; Б) паралельні;
B) перетинаються; Г) визначити не можна.
5. Пряма а не лежить у площині . Скільки різних прямих, які є мимобіжними з прямою а, можна провести через точку, взяту в площині ?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч.
6. Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 : 5. Гіпотенуза дорівнює 39 см. Знайдіть сторони трикутника.
7. Через точку С, що не належить двом паралельним площинам і , проведені два промені, один з яких перетинає площини і в точках А1 і В1 відповідно, а другий – відповідно у точках А2 і В2. Відомо, що СА1 = 4 см, В1В2 = 9 см, А1А2 = СВ1. Знайдіть А1А2 і А1В1.
8. До площини прямокутника із середини більшої сторони проведено перпендикуляр. Його кінець віддалений від однієї із діагоналей на 30 см. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо сторони прямокутника дорівнюють 45 см і 60 см.
Варіант 18
1.Дано дві мимобіжні прямі а і b. Точки А і В лежать на прямій а , точки С і D на прямій b. Яке взаємне розміщення прямих АС і ВD?
А) паралельні; Б) мимобіжні;
В) перетинаються; Г) визначити неможливо.
2. АВСDA1B1C1D1 – куб, ребро якого дорівнює 2 (мал. 1). Знайдіть відстань від середини ребра C1D1 до площини АВС .
А) 2; Б) ;
В) ; Г) 1.
3. На мал. 2 точка О — центр описаного навколо трикутника АВС кола, ОМ – перпендикуляр до площини АВС. Відстані від точки М до точок А і С дорівнюють а і с відповідно. Порівняйте величини а і с, якщо це можливо.
А) ; Б) ;
В) ; Г) порівняти неможливо.
4. Ребро РВ піраміди PАВС — перпендикуляр до площини основи АВС (мал. 3). Кут між площинами АВС і РАС дорівнює 30º. Знайдіть площу основи АВС піраміди, якщо площа грані РАС дорівнює см2.
А) см2; Б) см2;
В) 9 см2; Г) 12 см2.
5. Дано трикутник АВС. Площина паралельна прямій АВ і перетинає сторону АС в точці К, а сторону ВС в точці М .Знайдіть довжину сторони АВ, якщо КС = 12 см, АС = 18 см, КМ = 36 см.
А) 4 см; Б) 54 см; В) 18 см; Г) 36 см.
6. Знайдіть площу круга, описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною 4 см.
7.Кінці відрізка розташовані по різні сторони від площини та віддалені від неї 5 см та 7 см. Знайдіть відстань від середини цього відрізка до цієї площини.
8. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника проведено перпендикуляр до його площини довжиною 4,8 см. Знайдіть відстань від кінця цього перпендикуляра до діагоналей прямокутника.
Варіант 19
1. Паралельні площини і β перетинають сторони МN і NК кута МNК у точках А, L, В і R відповідно (мал. 1). Яке взаємне розміщення прямих АВ і LR?
А) перетинаються;
Б) мимобіжні;
В) паралельні;
Г) не можна визначити.
2. Точка А не належить площині квадрата. Скільки прямих, паралельних до осей симетрії квадрата можна провести через точку А?
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
3. Точки А, В, С і D не лежать на одній площині. Яке взаємне розміщення прямих АВ і СD?
А) перетинаються; Б) мимобіжні;
В) паралельні; Г) лежать в одній площині.
4. Площини і β перетинаються по прямій .Точка А лежить в площині і знаходиться від прямої а на відстані в 2 рази більшій, ніж від площини β. Знайдіть кут між заданими площинами.
А) 90º; Б) 45º; В) 30º; Г)60º.
5. До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ довжиною 12 см. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть довжину похилої МА.
А) 15 см; Б) 13 см; В) 12 см; Г) см.
6.Знайдіть діаметр кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною, яка дорівнює см.
7.Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Поза площиною трикутника дано точку, яка знаходиться на відстані 10 см від кожної його вершини. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.