Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Основные определения теории графов

Граф – математический объект, описываемый двумя множествами: G=( V, E ), где V – так называемое множество вершин, а E – множество дуг.

Элементами множества дуг являются упорядоченные пары вершин, т.е. E={ ( a, b): aÎV, bÎV }, т.о. множество Е является подмножеством декартова произведения V´V. Порядок вершин в парах может и не учитываться, тогда элементы множества Е называют ребрами, а сам граф – неориентированным графом, в противном случае – ориентированным или Орграфом. В некоторых случаях рассматриваются так называемые смешанные графы, в них множество Е состоит из элементов обоих видов: дуг и ребер.

Обозначим вершины v₁, v₂, v₃, ¼, а ребра e₁, e₂, e₃, ¼. Вершины v_i и v_j, определяющие ребро e_k, называются концевыми вершинами ребра e_k=(v_i, v_j), а в случае орграфа – началом и концом дуги e_k соответственно. Говорят также, что ребро e_k (дуга) инцидентно вершинам v_i, v_j или, что вершины v_i, v_j инцидентны ребру (дуге) e_k. Такие вершины называют смежными. Ребра называют смежными в случае, когда они имеют общую концевую вершину. Например, e_k=(v_i, v_j) и e_m=(v_i, v_l) – смежные ребра.

В множестве ребер графа допускается более, чем одно ребро с одинаковыми концевыми вершинами. Такие ребра называются параллельными или кратными. Например: e_k=(v_i, v_j) и e_m=(v_i, v_j) – кратные ребра.

Если обе концевые вершины ребра совпадают, то такое ребро называется петлей. Например: e_k=(v_i, v_i) – петля.

Граф без петель и параллельных ребер называется простым, в противном случае – мультиграфом.

Граф, не имеющий ребер, называется пустым, а не имеющий вершин (а значит и ребер) – нуль‑графом.

Простой граф, у которого любая пара вершин смежна, называется полным.

Количество вершин в графе называется порядком графа.

Степенью или валентностью вершины называется число инцидентных ей ребер. Будем обозначать степень вершины v_i – deg(v_i). Вершина нулевой степени называется изолированной. Вершина степени 1 называется висячей, а ребро, инцидентное ей, называется висячим ребром. Заметим, что петля добавляет двойку к степени вершины.

Способы задания графов.

Рассмотрим три способа задания графов: графический, аналитический и матричный.

1) Графический способ.

Вершины изображают точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки. Для изображения дуги используется линия со стрелкой, указывающей направление от начала к концу дуги.

На рисунке 12 изображен смешанный граф с вершинами v₁, v₂,¼, v₆, ребрами e₁, e₂, e₃, e₅ и дугой e₄. Смежные вершины v₁, v₂, инциденты ребру e₁. Вершины v₁, v₃, инциденты параллельным ребрам e₂ и e₃. Вершине v₄ инциденты петля e₅ и дуга e₄, причем v₄ является началом дуги e₄, а v₅ – концом этой дуги. Степень вершины v₁ равна 3, вершины v₂ – 1, вершины v₃ – 2, вершины v₄ – 3, вершины v₅ – 1, вершины v₆ – 0. Таким образом, вершины v₂ и v₅ – висячие, а вершина v₆ – изолированная. В случае дуги e₄ точнее было бы говорить о полустепенях исхода и захода вершин v₄ и v₅, а именно: полустепень исхода вершины v₄ равна 3, вершины v₅ – 0, полустепень захода вершины v₄ равна 2, вершины v₅ – 1.

2) Аналитический способ.

Граф задают перечислением элементов множества вершин и множества ребер. Для графа, изображенного на рисунке 12, эти множества: V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆} и Е={e₁, e₂, e₃, e₄, e₅}, где e₁=(v₁, v₂), e₂=(v₁, v₃), e₃=(v₁, v₃), e₄=(v₄, v₅), и e₅=(v₄, v₄).

3) Матричный способ.

Имеется несколько вариантов задать граф матрицей. Наиболее употребимыми являются матрица инциденций и матрица смежности.

а) Матрица инциденций – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин, а число столбцов – числу дуг (ребер) графа. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:

Таким образом, для графа на рисунке 12 матрица инциденций такова:

		e1	e2	e3	e4	e5
	v1
	v2
I=	v3
	v4
	v5				-1
	v6

По этой матрице легко судить о наличии в графе параллельных ребер (два одинаковых столбца), петли (одна единица в столбце), дуги (значения разных знаков в столбце), изолированной вершины (нулевая строка), висячих вершин (одно ненулевое значение в строке).

б) Матрица смежности вершин – это квадратная матрица, размер которой определяется числом вершин в графе. Элементы этой матрицы определяются так: . Если в графе имеются параллельные ребра, то соответствующий элемент матрицы смежности полагают равным числу этих ребер. Так матрица смежности для графа на рисунке 12 такова:

		v1	v2	v3	v4	v5	v6
	v1
	v2
S=	v3
	v4
	v5
	v6

По виду этой матрицы также несложно судить о наличии в графе кратных ребер, дуг, петель, висячих и изолированных вершин.

Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов.

Теорема 1: Сумма степеней вершин в неориентированном графе четна и равна удвоенному числу ребер.

Аналогичная теорема может быть сформулирована и для орграфов: сумма полустепеней исхода всех вершин равна сумме их полустепеней захода и равна числу дуг орграфа.

Теорема 2:Число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Два графа G₁ и G₂ называются изоморфными, если существует биективное отображение между множествами их вершин и ребер такое, что соответствующие друг другу по этому отображению ребра графов G₁ и G₂ инцидентны соответствующим друг другу по этому же отображению парам вершин этих графов.

Согласно определению, графы, изображенные на рисунке 13, изоморфны. Соответствие между множествами вершин и ребер таково:

для вершин:

для ребер:

Подграфы

Подграфом графа G=(V, E) называется граф G¢=(V¢, E¢), у которого множества вершин и ребер V¢ и E¢ являются такими подмножествами множеств V и E соответственно, что ребро (v_i, v_j)ÎE¢ тогда и только тогда, когда вершины v_i и v_jÎV¢. Граф G¢ называется собственным подграфом графа G, если V¢Ì V и E¢Ì E. Если все вершины графа G присутствуют в его подграфе G¢, т.е. V¢=V, то G¢ называется остовным подграфом G.

Подграф без изолированных вершин называется реберно-порожденным подграфом. Множество вершин реберно-порожденного подграфа полностью определяется множеством его ребер.

Если же множество вершин подграфа полностью определяет множество его ребер, то такой подграф называется вершинно-порожденным. Заметим, что множество ребер вершинно-порожденного подграфа является таким максимальным подмножеством множества ребер графа, что концевые вершины всех этих ребер принадлежат подграфу.

На рисунке 14 изображены: (а) исходный граф; (б) собственный подграф; (в) остовный подграф; (г) реберно-порожденный подграф; (д) вершинно-порожденный подграф.

Операции над графами.

1) Объединение двух графов G=(V, E) и G¢=(V¢, E¢) есть граф S=(V∪V¢,E∪E¢).

На рисунке 15 показано объединение двух графов.

2) Пересечение двух графов G=(V, E) и G¢=(V¢, E¢) есть граф S=(V∩V¢,E∩E¢). См. рис.16.

4) Относительное дополнение подграфа до графа – это граф, в который входят те ребра основного графа, которых не было в подграфе, а множество вершин совпадает с множеством вершин основного графа. См. рис.18.

3) Кольцевая сумма двух графов GÅG¢ есть граф, не имеющий изолированных вершин и состоящий только из ребер, присутствующих либо в G, либо в G¢, но не в обоих графах одновременно. Т.о. это ЕÅЕ¢ реберно-порожденный граф. См. рис.17.

5) Абсолютное дополнение – это дополнение до полного графа на том же множестве вершин. Так для графа, изображенного в правой части равенства на рис.18, абсолютное дополнение будет изображаться так, как показано на рис.19.

6) Удаление ребра – ребро удаляется из графа, а инцидентные ему вершины остаются. См.рис.20.

7) Удаление вершины – вершина удаляется из графа вместе со всеми инцидентными ей ребрами. См. рис.21.

8) Отождествление (замыкание) вершин – при замыкании двух вершин, эти вершины удаляются из графа и заменяются одной новой, при этом ребра, инцидентные исходным вершинам, теперь будут инцидентны новой вершине.

9) Стягивание ребра – ребро удаляется, а его концевые вершины отождествляются. На рисунке 23 последовательно стягиваются ребра е₁, е₃, е₂.

Примеры решения задач.

Заданы графы и . , .

1. По заданным и изобразите графы и .

2. Найдите , , , .

3. Для графа найдите маршруты смежности, инцидентности, сильных компонент, маршрутов длины 2 и все маршруты длины 2, исходящие из вершины 1.

={(1,1), (1,4), (2,2), (2,3), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}

={(1,3), (2,1), (3,1), (3,3)}

соответствует орграф Матрица смежности

.

Матрица инцидентности

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

.

Матрица достижимости Матрица контрдостижимости

.

Матрица сильных компонент .

Матрица маршрутов длины 2:

.

Все маршруты, длины 2, исходящие из вершины 1 (соответствует 1 строка матрицы А²):

(1,1,1); (1,4,1); (1,3,2); (1,4,2); (1,1,3); (1,3,3); (1,4,3); (1,1,4); (1,3,4).