1. Построение таблиц значений функции одной переменной в пакете MatLab Отображение функции в виде таблицы удобно, если имеется сравнительно небольшое число значений функции. Пусть требуется вывести в командное окно таблицу значений функции в точках 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 1.3, 1.7, 2.5. Задача решается в два этапа. 1. Создается вектор-строка х, содержащая координаты заданных точек. 2. Вычисляются значения функции y(х)от каждого элемента вектора х и записываются полученные значения в вектор-строку у. Значения функции необходимо найти для каждого из элементов вектор-строки х, поэтому операции в выражении для функции должны выполняться поэлементно. » х = [0.2 0.3 0.5 0.8 1.3 1.7 2.5] х = 0.2000 0.3000 0.5000 0.8000 1.3000 1.7000 2.5000 » у = sin(x).^2./(l+cos(x))+exp(-x).*log(x) У = -1.2978 -0.8473 -0.2980 0.2030 0.8040 1.2258 1.8764 Обратите внимание, что при попытке использования операций возведения в степень ^, деления / и умножения * (которые не относятся к поэлементным) выводится сообщение об ошибке уже при возведении sin(x) в квадрат: » у = sin(х)^2/(1+соз(х))+exp(-x)*log(x) ??? Error using ==> ^ Matrix must be square. Дело в том, что в MatLab операции * и ^ применяются для перемножения матриц соответствующих размеров и возведения квадратной матрицы в степень. Таблице можно придать более удобный для чтения вид, расположив значения функции непосредственно под значениями аргумента: » х х = 0.2000 0.3000 0.5000 0.8000 1.3000 1.7000 2.5000 » у у = -1.2978 -0.8473 -0.2980 0.2030 0.8040 1.2258 1.8764 Часто требуется вывести значение функции в точках отрезка, отстоящих друг от друга на равное расстояние (шаг). Предположим, что необходимо вывести таблицу значений функции y(х)наотрезке [1, 2] с шагом 0.2. Можно, конечно, ввести вектор-строку значений аргумента х=[1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0] из командной строки и вычислить все значения функции так, как описано выше. Однако, если шаг будет не 0.2, а, например 0.01, то предстоит большая работа по вводу вектора х. В MatLab предусмотрено простое создание векторов, каждый элемент которых отличается от предшествующего на постоянную величину, т.е. на шаг. Для ввода таких векторов служит двоеточие (не путайте с индексацией при помощи двоеточия). Следующие два оператора приводят к формированию одинаковых вектор-строк. Условно можно записать » х = [1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0] х = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 » х = [1:0.2:2] х = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 Условно можно записать х = [начальное значение : шаг : конечное значение] Необязательно заботиться о том, чтобы сумма предпоследнего значения шага равнялась бы конечному значению, например, при выполнении следующего оператора присваивания » х = [1:0.2:1.9] х = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 Вектор-строка заполнится до элемента, не превосходящего определенное нами конечное значение. Шаг может быть и отрицательным: » х = [1.9:-0.2:1] х = 1.9000 1.7000 1.5000 1.3000 1.1000 В случае отрицательного шага для получения непустой вектор-строки начальное значение должно быть больше конечного. Для заполнения вектор-столбца элементами, начинающимися с нуля и заканчивающимися 0.5 с шагом 0.1, следует заполнить вектор-строку, а затем использовать операцию транспонирования: » х = [0:0.1:0.5]' х = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 Обратите внимание, что элементы вектора, заполняемого при помощи двоеточия, могут быть только вещественными, поэтому для транспонирования можно использовать апостроф вместо точки с апострофом. Шаг, равный единице, допускается не указывать при автоматическом заполнении: » х = [1:5] х = 1 2 3 4 5 Пусть требуется вывести таблицу значений функции на отрезке [0, 1] с шагом 0.05, Для выполнения этого задания необходимо произвести следующие действия: 1. Сформировать вектор-строку х при помощи двоеточия. 2. Вычислить значения у(х)отэлементов х. 3. Записать результат в вектор-строку y. 4. Вывести хи у. » х = [0:0.05:1]; » у = ехр(-х).*sin(10*x); » хч х = Columns 1 through 7 О 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 Columns 8 through 14 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500 Columns 15 through 21 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 » у У = Columns 1 through 7 0 0.4560 0.7614 0.8586 0.7445 0.4661 0.1045 Columns 8 through 14 -0.2472 -0.5073 -0.6233 -0.5816 -0.4071 -0.1533 0.1123 Columns 15 through 21 0.3262 0.4431 0.4445 0.3413 0.1676 -0.0291 -0.2001 Вектор-строки x и yсостоят из двадцати одного элемента, и не помещается на экране в одну строку, поэтому выводятся по частям. Так как х иy хранятся в двумерных массивах размерностью один на двадцать один, то выводятся по столбцам, каждый из которых состоит из одного элемента. Сначала выводятся столбцы с первого по седьмой (columns 1 through 7), затем - с восьмого по четырнадцатый (columns 8 through 14), и, наконец, - с пятнадцатого по двадцать первый (columns 15 through 21). Более наглядным и удобным является графическое представление функции. 2. Построение графиков функции одной переменной 2.1. Графики функций в линейном масштабе MatLab обладает хорошо развитыми графическими возможностями для визуализации данных. Рассмотрим в начале построение простейшего графика функции одной переменной на примере функции , определенной на отрезке [0, 1]. Вывод функции в виде графика состоит из следующих этапов: 1. Задание вектора значений аргумента х. 2. Вычисление вектора у значений функции y(х). 3. Вызов команды plot для построения графика. Команды для задания вектора х и вычисления функции лучше завершать точкой с запятой для подавления вывода в командное окно их значений (после команды plot точку с запятой ставить необязательно, т. к. она ничего не выводит в командное окно). » x = [0:0.05:1]; » у = exp(-x).*sin(10*x); » plot(x, у) После выполнения команд на экране появляется окно Figure No. 1 с графиком функции. Окно содержит меню, панель инструментов и область графика. В дальнейшем будут описаны команды, специально предназначенные для оформления графика. Сейчас нас интересует сам принцип построения графиков и некоторые простейшие возможности визуализации функций. Для построения графика функции в рабочей среде MatLab должны быть определены два вектора одинаковой размерности, например х и у. Соответствующий массив х содержит значения аргументов, а у — значения функции от этих аргументов. Команда plot соединяет точки с координатами (x(i), y(i)) прямыми линиями, автоматически масштабируя оси для оптимального расположения графика в окне. При построении графиков удобно расположить на экране основное окно MatLab и окно с графиком рядом так, чтобы они не перекрывались. Построенный график функции имеет изломы. Для более точного построения графика функцию необходимо вычислить y(х) в большем числе точек на отрезке [0, 1], т.е. задать меньший шаг при вводе вектора х: » х = [0:0.01:1]; » у = ехр(-х).*sin(10*x); » plot(x, у) В результате получается график функции в виде более плавной кривой. Сравнение нескольких функций удобно производить, отобразив их графики на одних осях. Например, построим на отрезке [-1, -0.3] графики функций , при помощи следующей последовательности команд: »x = [-1:0.005:-0.3]; » f = sin(x.^-2); » g = sin(1.2*x.^-2); » plot(x, f, x, g) Функции необязательно должны быть определены на одном и том же отрезке. В этом случае при построении графиков MatLab выбирает максимальный отрезок, содержащий остальные. Важно только в каждой паре векторов абсцисс и ординат указать соответствующие друг другу вектора, например: » x1 = [-1:0.005:-0.3]; » f = sin(x1.^-2); » x2 = [-1:0.005:0.3]; » g = sin(1.2*x2.^-2); » plot(x1, f, x2, g) Аналогичным образом при помощи задания в plot через запятую пар аргументов вида: вектор абсцисс, вектор ординат, осуществляется построение графиков произвольного числа функций. Замечание 1 Использование plot с одним аргументом - вектором - приводит к построению "графика вектора", т.е. зависимости значений элементов вектора от их номеров. Аргументом plot может быть и матрица, в этом случае на одни координатные оси выводятся графики столбцов. Иногда требуется сравнить поведение двух функций, значения которых сильно отличаются друг от друга. График функции с небольшими значениями практически сливается с осью абсцисс, и установить его вид не удается. В этой ситуации помогает функция plotyy, которая выводит графики в окно с двумя вертикальными осями, имеющими подходящий масштаб. Сравните, например, две функции: и » х = [0.5:0.01:3]; » f = х.^-3; » F = 1000*(х+0.5).^-4; » plotyy(x, f, x, F) При выполнении этого примера обратите внимание, что цвет графика совпадает с цветом соответствующей ему оси ординат. Функция plot использует линейный масштаб по обеим координатным осям. Однако MatLab предоставляет пользователю возможность строить графики функций одной переменной в логарифмическом или полулогарифмическом масштабе. 2.2. Графики функций в логарифмических масштабах Для построения графиков в логарифмическом и полулогарифмическом масштабах служат следующие функции: - loglog (логарифмический масштаб по обеим осям); - semilogx (логарифмический масштаб только по оси абсцисс); -semilogy (логарифмический масштаб только по оси ординат). Аргументы loglog, semilogx и semilogy задаются в виде пары векторов значений абсцисс и ординат так же, как для функции plot, описанной в предыдущем пункте. Построим, например, графики функций и на отрезке [0.1, 5] в логарифмическом масштабе по оси х: » х = [0.1:0.01:10]; » f = log(0.5*x); » g = sin(log(x)); » semilogx(x, f, x ,g) 2.3. Задание свойств линий на графиках функций Построенные графики функций должны быть максимально удобными для восприятия. Часто требуется нанести маркеры, изменить цвет линий, а при подготовке к монохромной печати — задать тип линии (сплошная, пунктирная, штрих-пунктирная и т.д.). MatLab предоставляет возможность управлять видом графиков, построенных при помощи plot, loglog, semilogx и semilogy, для чего служит дополнительный аргумент, помещаемый за каждой парой векторов. Этот аргумент заключается в апострофы и состоит из трех символов, которые определяют: цвет, тип маркера и тип линии. Используется одна, две или три позиции, в зависимости от требуемых изменений. В таблице приведены возможные значения данного аргумента с указанием результата. Таблица | Цвет | Тип маркера | Тип линии | | y | желтый | . | точка | - | сплошная | | m | розовый | o | кружок | : | пунктирная | | c | голубой | х | крестик | -. | штрих-пунктирная | | r | красный | + | знак "плюс" | -- | штриховая | | g | зеленый | * | звездочка | | | | b | синий | s | квадрат | | | | w | белый | d | ромб | | | | k | черный | v | Треугольник вершиной вниз | | | | | | ^ | Треугольник вершиной вверх | | | | | | < | Треугольник вершиной влево | | | | | | > | треугольник вершиной вправо | | | | | | p | пятиконечная звезда | | | | | | h | шестиконечная звезда | | | Если, например, необходимо построить первый график красными точечными маркерами без линии, а второго график - черной пунктирной линией, то следует использовать команду plot(x, f, 'r.', х, g, 'k:'). |
