Аналітичне моделювання об’єктів керування

Математичне моделювання

Математичне моделювання реалізується у трьох взаємопов’язаних стадіях:

1. формулювання процесу – побудова математичної моделі (складання математичного опису об’єкта чи системи);

2. програмування розв’язування задачі (розробка алгоритмів та програм) для знаходження числових значень параметрів;

3. встановлення відповідності (адекватності) математичної моделі.

Побудова математичної моделі починається з формалізованого описання об’єкта моделювання. Аналітичний аспект моделювання складається із смислового описування об’єкта у математичній формі, у вигляді сукупності співвідношень між екстремуми параметрами моделі.

Рівняння які виражають залежність вихідних координат об’єкта від вхідних, називаються статичними характеристиками, які необхідно під час проектування технологічного процесу, визначення нормальних режимів роботи устаткування, оптимізації технологічних процесів і конструювання об’єктів із заздалегідь заданими властивостями. Для стаціонарних об’єктів сталий режим є незмінним у часі і не залежить від часу.

Рівняння статистики можуть бути зображені як в алгебраїчній так і в диференційній формі. Для реактора зміна якого для гомогенної реакції статична характеристика має вигляд:

де , х – концентрація речовини на виході та виході апарата з об’єктом V; y₁,y₂… - концентрації речовини апарата.

Для трубчатого реактора рівняння статики має вигляд:

де - концентрація речовини y₁,y_{2 –} у перерізі, розміщеному на відстані l від входу в апараті L – довжина апарата.

Сукупність математичних виразів, які описують зміну у часі вихідних координат об’єкта - це математичний опис його динаміки. Рівняння, які установлюють залежність вихідних координат від зміни вихідних збурюючих параметрів, називаються динамічними характеристиками.

Динамічні характеристики об’єктів, як правило. Описуються динамічними рівняннями. Залежність вихідних координат від часу при зміні вихідних називаються перехідним процесом об’єкта або системи керування.

Перехідні процеси в об’єктах із зосередженими параметрами описуються лінійними диференціальними рівняннями. Наприклад зміну концентрації речовини у реакторі ідеального змішання можна описати рівнянням:

де V – об’єкт реактора; F₁,F₂ – витрати речовини на його вході і виході; Wp – швидкість утворення продукту реакції ; y₂(t) – вхідна концентрація.

Динаміка об’єктів з розподіленими параметрами описуються диференціальним рівнянням з частинами похідними, які містять похідні за часом. Наприклад для трубчастого реактора ідеального витіснення, диференціальне рівняння має вигляд:

де l – координата по довжині труби; V – швидкість потоку. Статичні характеристики виходять у рівняння динаміки об’єктів керування у явній чи неявній формі.

Структура та компоненти моделі

Об’єктом керування називається апарат, сукупність апаратів з вхідними та вихідними та вхідними параметрами між якими існує функціональний зв’язок. Для об’єктів керування вихідними координатами є витрати палива, сировини інших енергоносіїв (наприклад електрична потужність, пара під тиском). До вихідних відносяться : Температура Т, тиск Р, рівень L, концентрація Q речовини. Об’єкт або система характеризується збуреннями. Це технологічні параметри, які мають функціональний зв’язок з вихідними координатами підлеглих контролю, але не можуть бути керованими.

рис. Структурна схема об’єкта керування.

Наприклад температура газового чи рідного потоку концентрація речовин і т.д. одним з найсуттєвіших збурень об’єкта є зміна навантаження.

Навантаженням об’єкта розуміють кількість речовини або теплоти, що проходить через об’єкт в одиницю часу.

Вихідні координати об’єктів керування є регулювальним величини (відповідають технологічним параметрам T,P,L,Q). Вхідні координати за наявності збурень (відповідно T₀,F₀,P₀,Q₀).

Технологічні об’єкти поділяються на одно та багатовимірні. Одновимірні об’єкти мають одну вихідну координату і описуються одним рівнянням статики та динаміки. Прикладом одновимірного об’єкта керування може бути резервуар з рідиною об’єкта керування є витрати: надходження Fn та стік Fc рідини, а вихідною координатою рівня рідини L. Якщо регулюючою координатою є стік Fc, то прихід Fn буде збуренням (рис.)

Рис. Резервуар з рідиною (а), та його структурна схема (б).

Вихідну координату можна змінювати впливаючи на величину стоку регулюючим органом (PO). Рівняння статики такого об’єкта має вигляд:

а рівняння динаміки

.

Якщо регулюючий орган заданий і Fc = 0 , то

.

У багатовимірних об’єктах з незалежними вихідними координатами зміна однієї з незалежними вихідними координатами зміна однієї з вихідних координат приводить до зміни тільки своєї вихідної координати. Такі об’єкти можна розділити на декілька одновимірних об’єктів і розглядати їх незалежно один від одного. Прикладом такого об’єкта може бути апарат для

підігрівання води (рис.)

В апарат надходить вода з витратою Fn і температурою Т₁. Нагрівання води до температури Т₂ відбувається за допомогою теплообмінника по якому подається теплоносій (вода, пара та ін.). Для забезпечення загального матеріального балансу в апараті необхідно підтримувати відповідний рівень води. Зміна витрат теплоносія не буде впливати на рівень, а останній (в певних межах) на температуру нагріву. Тоді можна вважати, що об’єкт керування розділяється на два одновимірні, з окремими вихідними та вхідними координатами (рис.)

Рис. Розділення двовимірного об’єкта з незалежними координатами на два одновимірні.

Такий об’єкт описується системою двох незалежних рівнянь статики та динаміки.

В багатовимірних об’єктах з взаємозалежними вихідними координатами зміна вихідних величин призводить до одночасної зміни декількох зв’язків. Наприклад у випарній установці рідина нагрівається до температури кипіння. За рахунок випарювання змінюється

Рис. Випарна установка (а), та її структурна схема (б).

Зміна витрат теплоносія F_T призводить зміни температури Т кипіння, тиск Р, а також рівня L рідини. Витрата пари впливає на тиск Р і рівень, а зміна величини стоку призводить до зміни рівня і тиску. Тобто зміна хоча б однієї вихідної координати спричиняє одночасну зміну всіх вихідних координат. Такий об’єкт може бути описаний системою із трьох рівнянь причому кожне із них вміщує другі вихідні координати. Для температури математична модель матиме вигляд:

для тиску:

для рівня:

Технологічні об’єкти поділяються на об’єкти без внутрішніх зворотних зв’язків, з від’ємним зворотним і позитивним зворотним зв’язком.

Об’єкти у яких відсутній вплив вихідної координати на вхідну, тобто внутрішній зворотній зв’язок відсутній, називаються нейтральними. Приклад розглянутий раніше, резервуар з рідиною. Якщо стік Fc = 0 у теорії автоматичного керування такий об’єкт називається інтегруючою динамічною ланкою, Яка описується рівнями

де k – коефіцієнт передачі ланки за швидкістю.

Це рівняння описує об’єкт по каналу збурення , оскільки х = 0. Диференційне рівняння має вигляд:

де - стала часу об’єкта

Розглянемо резервуар з рідиною. Для Fc = 0 рівня матеріального балансу буде:

де V – об’єм рівня в апараті.

Тобто .

Змінимо об’єм V через рівень L і поперечний переріз S, тобто dV = SdL, оскільки . Тоді

.

Про інтегруємо вираз від 0 до t : .

При ступінчатій зміні Fn на величину рівень рідини L змінюватиметеся

, тобто швидкість зміни рівня при ступінчастій зміни притоку Fn є сталими і становлять

У відносних одиницях, при умові , (L₀, Fn₀ )

величини рівняння притоку за умови урівноваженого стану об'єкта). Тоді

, або

,

Порівнюючи коефіцієнти матимемо:

Рис. Структурна схема та перехідний процес апарата із стоком.

Передаточна функція такого об'єкта де ;

Це рівняння описує аперіодичну ланку і відповідає такому диференційному рівнянню.

де - стала часу; К – коефіцієнт передачі.

Розв’язком є експоненціальна залежність

Об’єкти керування які описуються рівняннями та називаються Структурна схема та перехідний процес апарата із стоком.

Кожний об’єкт керування технологічними процесами розділяється на елементарні динамічні ланки з відомими передаточними функціями. З’єднання динамічних ланок може бути послідовним, паралельних, або зі зворотнім зв’язком. Слід врахувати, що об’єкти керування мають “чисте запізнення”, яке виражається у тому, що їх вихідні величини починають змінюватися не відразу після нанесення збурення, а через деякий проміжок часу. У динамічній моделі чисте запізнення враховується окремою динамічною ланкою, яка включається окремою динамічною ланкою, яка включається послідовно з ланкою об'єкта. Основні структурні схеми об'єкта керування та відповідно їх передаточні функції наведено в таблиці:

Об’єкт	Структурна схема	Передаточна функція
Нейтральний другого порядку
Стійкий другого порядку
Те саме
Стійкий третього порядку
Те саме	y
Нейтральний першого порядку із запізненням
Стійкий першого порядку із запізненням
Стійкий другого порядку із запізненням
Те саме

Рівняння руху об’єктів з чистим запізненням має вигляд:

або

Об’єкти з позитивним зворотним зв’язком відносяться до нестійких. Приклад: хімічний реактор ідеального перемішування в якому відбуваються екзотермічна реакція. Якщо теплота, що виділяється в результаті реакції, перевищує теплоту, що відводиться системою охолодження, то температура в реакторі підвищується і зростатиме швидкість реакції і температура. Позитивний зворотній зв’язок в реакції створює швидкість реакції. Диференційне рівняння, що описують об’єкти керування з позитивними зв’язками, містять від’ємні складові, наприклад

Результатами математичного моделювання об’єктів керування є отримання передаточних функцій для всіх вихідних каналів, які входять у структурні схеми автоматичних систем керування.

Параметри ТОК необхідні для розрахунків оптимальних настроювань регуляторів та досягнення якості перехідного процесу системи регулювання.

Типові технологічні процеси та моделі об’єктів керування.

Кожний технологічний процес, виробництво, можна розділити на окремі типові технологічні процеси: гідродинамічні; тепло і масообміні; хімічного перетворення.

Гідродинамічні процеси складають основу багатьох виробництв. Це гідромеханічні процеси переміщення матеріальних потоків у трубопроводах, переміщення матеріальних потоків у трубопроводах, розподіляють субстанції у часі і просторі технологічного апарата. Основні задачі гідродинаміки розділяються на внутрішні, зовнішні та змішані. До внутрішньої задачі відносяться рух рідини та часу по трубах і каналах, до зовнішньої – рух твердих часток у газі чи рідині, а до змішаної – рух рідини у газі через твердий шар.

Рух суцільного середовища характеризується швидкістю руху частинок, і є стійким (або стаціонарним) якщо поле швидкостей не змінюється у часі і нестійкий якщо поле швидкостей не змінюється у часі і не стійкі якщо він залежить від часу, наприклад – витіканні рідини через отвір. На практиці користуються поєднанням середніх швидкостей. На прикінці користуються поняттям середніх швидкостей, які обчислюють або за площиною певного перетину, або за часом.

Витратою рідини або часу називається їх кількість, що протікає через попередній перетин потоку в одиницю часу. Рівняння об'ємної витрати (м³/с³).

де V – лінійна швидкість потоку, S – поперечний переріз.

Рівняння масової витрати. Кг/с

де - густина.

В наслідок складності конструкції апаратів, швидкість руху матеріальних потоків в бумі апарата можуть бути розподілені нерівномірно. В основному спостерігаються так званий поршневий рух рідини, відповідні апарати називаються апаратами ідеального витіснення (рис.)

Рис. Схема апарата ідеального витіснення (а) та його крива відгуку при ступінчастому збуренні (б).

Перебування t_п всіх часток потоку в апараті ідеального витіснення одинаків і дорівнює середньому часу перебування t_c:

де l – довжина шляху руху; V – лінійна швидкість до витіснення може бути наслідком переміщення вздовж осі апарата, або за поперечним перетином, або в наслідок створення застійних зон.

Математичний опис моделі ідеального витіснення має вигляд

де Q – концентрація речовини чи енергії; t – час; х – координата переміщення потоку.

Друга ідеалізована модель гідродинамічних процесів модель ідеального змішування. Це такий стан потоку в проточному апараті, коли забезпечується миттєве та повне змішування частинок, що надходять з тими, що містяться в апараті (рис.)

Рис. Схема апарата ідеального змішування та його крива відгуку при ступінчастому збуренні.

Приклад – апарат з інтенсивно працюючою мішанкою, та апарат з рухом твердої маси в киплячому шарі зернистого матеріалу.

Математичний опис моделі ідеального змішування має вигляд:

,

де Vp – об'єм рідини в апараті; Q – концентрація розміщуваної речовини; F – масова швидкість переміщування; Q_0. – початкова концентрація розмішувальної речовини.

Рух потоків у більшості діючих апаратів не відповідає ні ідеальному витісненню ні ідеальному змішуванню. Це апарати проміжного типу. Їх можна розглядати як послідовно з’єднані апарати ідеального витіснення і змішування (рис.)

Рис. Схема апарата проміжного типу та його криві відгуку при ступінчатому і імпульсному збуренні.

Структурні моделі проміжного тиску складається з аперіодичної ланки часового запізнення.

Таблиця: Математичний опис типових процесів гідродинаміки за В.В. Кадрова

Структурна схема моделі	Математичне описання	Початкові та граничні умови	Область використання
	Ідеальне витіснення		Трубчасті апарати з відношення довжини до діаметра більше ніж 20
	Ідеальне змішування	- Довільна функція	Циліндричні апарати інтенсивного змішування зі сферичним дном і з відбиваючими перегородками
	Одно параметрична диференційна модель	Довжина апарата довжина експериментальної секції	Трубчасті апарати канонічного типу з насадкою та без насадки під час розсіяння речовини по осі х
	Дво параметрична диференціальна модель	Довжина апарата	Трубчасті апарати колонного типу з невеликим відношенням довжини до діаметра і великою нерівномірність швидкостей потоків.
	Комірчаста модель		Каскади реакторів з мішалками, тарілчасті колонні, насадочні колони.

Теплообмінні процеси : Під час розробки математичних моделей теплообмінних процесів необхідно врахувати безліч умов їх конструктивного оформлення та призначення: вид теплоносія, спосіб організації теплообміну, гідродинаміку потоків, характер передачі теплоти, покриття поверхні теплообміну, матеріал апарата та ін. В основі розрахунків теплообмінників лежить використання відповідні моделі структури потоку з врахуванням джерела теплоти. При зміні апаратного стану потоків, які обмінюються теплотою, слід врахувати теплоту фазового переходу.

Структура потоків у теплообміннику визначається його конструкцією і швидкістю потоків середовищ. Тому моделі структури потоків можуть відрізнятися. Коефіцієнти тепловіддачі обчислюють за критеріональними співвідношеннями для різних режимів руху потоків.

Математичний опис типових моделей теплообмінників для стаціонарних умов наведено у таблиці.

Таблиця: Математичний опис моделей теплообмінників для стаціонарних умов.

Назва моделі	Математичний опис	Початкові та граничні умови	Область використання
Ідеальне витіснення			Трубчасті апарати з відношенням довжини до діаметра >20
Ідеальне змішування	або	Визначаються рівняннями теплового балансу	Циліндричні апарати з мішалками і відбиваючою перегородкою
Одно параметрична диференційна			Трубчасті апарати з великою поперечною нерівністю швидкостей потоків.
Вічкова
Теплообмінник типу змішання витіснення			Стаціонарно занурений теплообмінник.

Прямоточний теплообмінник.

Апарати типу труба в трубі

Проточний теплообмінник

Теплообмін – це процес переносу теплоти між тілами, які мають різну температуру. Якщо температура в об'єкті змінюється у часі то такий процес називається нестаціонарним. Теплота від одного тіла до іншого може передаватися теплопровідністю, конвекційно та тепловим випромінюванням.

Масообміні процеси. Процеси, сутність яких полягає в переході речовини з однієї фази до іншої називають масообмін. Це абсорбція; дистиляція і реакція абсорбції; сушіння; екстракція; екстрагування; кристалізація; розчіплювання. Ці процеси складні, їх супроводжують інші процеси, наприклад гідродинамічні, теплові. Для масообмінних процесів характерним є такі моделі: ідеального витіснення та змішування, Одно – дво параметричні диференційні, комірчаста (вічкова).

Детермінований опис переносу речовини в процесах масо передачі основаною на законах фізики та ін. (таблиця)

Таблиця: Математичний опис масообмінних процесів.

Модель переносу речовини	Розрахункова формула
Закон Фіна для молекулярного процесу
Рівняння Рікадля колективного масопереносу
Рівняння Ньютона

При математичному моделюванні використовується блочний принцип, згідно якого модель отримується з окремих складових до яких відноситься гідродинаміка, теплопередача, рівновага, масопередача. Важливо щоб вхідні та вихідні змінні всіх блоків моделі перебували у взаємній відповідності. Що забезпечить отримання системи рівнянь математичної моделі масообмінного процесу у цілому.

Процеси хімічного перетворення. Математичні моделі хімічних реакторів будуються на основі реальних розглянутих гідродинамічних і теплових моделях. Основу моделювання хімічних реакторів становить опис блоку кінематичної моделі або рівняння пропорційна швидкості створення продуктів реакції. Математичний опис моделей теплових процесів хімічних реакторів наведено у таблиці.

Таблиця: Математичний опис теплових процесів в хімічних реакціях.

Назва моделі	Математичний опис	Початкові та граничні умови	Область використання
Ідеальне витіснення			Трубчасті реактори
Ідеальне змішування			Проточні реактори з мішалкою
Диференційна			Трубчасті проточні реактори з врахуванням зміщення
Вічкова			Каскади реакторів з мішалками

Аналітичне моделювання об’єктів керування

Технологічні об’єкти керування.

Об’єктом керування називається апарат, який характеризується вихідними технологічними параметрами, що підлягають стабілізації або зміні за заданою програмою з допомогою автоматичних засобів регулювання. До основних технологічних параметрів відносяться: втрати температури тиск, рівень, склад і фізичні властивості речовини (концентрація, густина, в’язкість та ін.). Як правило вхідними параметрами для об’єктів керування є витрати матеріальних потоків або потужність (наприклад електрична), причому для регулювання вихідних параметрів. Параметрами збурення називаються такі що не можуть бути застосовані для регулювання вихідних, але на останні мають безпосередній вплив. Це витрати, температури, тиск, концентрація та ін.

Об’єкти керування поділяються на прості і складні. До простих відносяться об’єкти з одним вихідним параметром(трубопровід, резервуар під тиском, апарат з рідиною, теплообмінник). До складних відносяться об’єкти, які мають два або більше вихідних параметрів (рідинний теплообмінник зміщення, установка теплообмінника змішання, випарення, установка абсорбер, ректифікаційна колона та ін.).

Трубопровід. Це важливий об’єкт керування, оскільки за допомогою регулюючої арматури можна змінювати витрати або тиск матеріального потоку, Який спрямовується до технологічного обладнання.

Витрати тиску у трубопроводі під час руху в ньому реальної рідини зумовлює опором тертя та місце за всією довжиною трубопроводу і залежить від режиму руху потоку збільшуючись із зростанням турбулентності. Місцеві опори виникають за всяких змін потоку в наслідок зміни його керування, місцеві опори спричиняють: діафрагма, регулююча арматура (крани, вентилі, клапани, засувки).

Витрати тиску на переборювання тертя підчас руху (для всіх режимів) потоку у прямій циліндричні трубі.

де - коефіцієнт тертя; L, D – довжина та діаметр труби; - густина потоку; V – середня швидкість сталого руху.

Для ламінарного потоку труб (Re 2300) коефіцієнт тертя.

Для шороховатих труб

Втрата тиску у місцевих опорах

Де - коефіцієнт місцевого опору (табл.)

Таблиця: Значення місцевих опорів

Місцевий опір
Діафрагма з гострими кутами у прямій трубі де d0 – діаметр отводу діафрагми; D – діаметр труби; - товщина діафрагми.
Вентиль нормальний відкритий (повністю відкритий)
Вентиль прямокутний
Засувка
Кран пробковий

Загальні втрати тиску у трубопроводі під час руху рідини обчислюють за допомогою

g – 9,81 м/с²

Трубопровід відноситься до інерційних об’єктів, вихідний параметр – тиск після регулюючого органа, а вихідні – витрати матеріального потоку.

Резервуари – Використовуються для зберігання (постійного або тимчасового) газів під тиском, або рідин. Резервуари газів (газгольдери, ресивери) мають як правило два матеріальних потоки : вхідний і вихідний, з Якого витрачається газ. Як об’єкт керування резервуар має один вихідний параметр тиск. Вхідними параметрами можуть бути витрати у лінії нагнітання, та у лінії стоку оскільки регулювання тиску газу у резервуарі можна виконувати тим чи іншим потоком.

Резервуар з газом відноситься до інверсійних об’єктів керування. У стані рівноваги кількість газу, яка входить у резервуар, дорівнює кількості газу, яка виходить з нього, тобто Fn = Fc, де Fn, Fc – масові витрати притоку та стоку.

Якщо стік відсутній то кількість газу у резервуарі

де V – об'єм резервуара, М – молекулярна вага газу, Р – тиск, z – поправочний коефіцієнт.

Резервуари для рідини мають при наймі один вхідний Fn та один вихідний F потік. Як об’єкт керування, він має один вихідний параметр – рівень якщо тиск над поверхнею рідини дорівнює атмосферному. У стані рівноваги притік дорівнює стоку, (Fn = Fc).

Відомі три способи подання рідини у резервуар:

1. На поверхню рідини;

2. Від дна резервуара;

3. У герметичний резервуар рис.

Якщо рідина подіється на дні поверхню рис а) то кількість притоку становить:

рис. Способи подачі рідини у резервуар.

Якщо рідина подається знизу рис б) то її кількість обмежуватиметься тиском гідростатична ставка, який становить

Якщо P_H=Pr , то наступає стан рівноваги і рівень приймає стале положення,

Розглянемо рис в). При подачі рідини з витратою F під тиском Р_H рівень L₁ буде підвищуватися. Тоді об'єм повітря над рідиною буде зменшуватися. Тоді об'єм повітря над рідиною буде зменшуватимешся, що призводить до збільшення тиску. Ріст тиску продовжуватимешся доти доки не наступить рівновага тисків. Тоді подача рідини у резервуар припиниться і припиниться збільшення рівня. Об’єкт повітря у верхній частині резервуара:

оскільки

де m_r – маса газу у верхній частині резервуара.

Теплообмінники – це пристрої в яких відбувається теплообмін між граючими та нагріваючими середовищами. У теплообмінних апаратах можуть відбуватися різні процеси: нагрівання охолодження випаровування, концентрація кипіння, затвердіння та складні кліматичні процеси. Теплообмінні апарати в залежності від призначення поділяються на підігріваючи, випаровуючи, конденсатори, регенератори, кип’ятильники, випарні установки та ін. За принципом дії вони поділяються на поверхневі, зміщувальні та регенератори.

Поверхневих теплообмінниках два теплоносії розділяються стінкою. І теплота передається від більш нагрітого теплоносія до менш нагрітого.

Змішувальні теплообмінники працюють без розділяючої стінки між теплоносіями. Тому теплоносій проходить за безпосереднього стика теплоносія і супроводжується масообміном.

У регенеративних теплообмінниках передачі теплоносія із завчасно нагрітим тілами – нерухомою або перемішуючою насадкою, яка періодично нагрівається або охолоджується другим теплоносієм.

Теплообмінні процеси можуть проходити лише за наявності різниці температур. Яка є рушійною силою теплообміну. Теплота від одного тіла до другого може передаватися теплопровідністю, конвекцією та тепловим випромінюванням, тому слід розрізняти процеси теплообміну.

Процес передачі через стійку називається теплопередачею . Передача теплоти від відповідно теплового тіла (стійки) до газового або рідинного середовища називається конвективною теплопередачею.

Закон передачі теплоти теплопровідність (Фурє).

Кількість теплоти, необхідна для нагріву тіла пропорційне його масі і зміні температури

де m – маса тіла, T₁,T₂ – температури теплоносія і назріваючого тіла.

При теплопередачі (коефіцієнт К)

де t – час переносу тепла.

Для конвективного теплообміну основною характеристикою є коефіцієнт тепловіддачі L_K, а кількість теплоти, що передається теплообміннику становить

Є також теплове випромінювання. При нагріванні тіл частина теплової енергії передається у променеву.

Кількість теплоти, яка переходить від більш нагрітого тіла до нагрітого променевим випромінюванням визначається рівнянням

=>

Для сумісного теплообміну випромінюванням буде:

Теплоносіями в теплообмінних апаратах можуть бути : водяна пара, теплові гази, електронагрівання, нагріти рідини. Крім електронагріву теплоносії характеризуються масовими або об'ємними витратами.

Водяна пара – один з найпоширеніших теплоносіїв. Користуються водяною парою. Питома теплота конденсації пари r = Дж/кг. Позитивна якість насиченої водяної пари. Сталість температури конденсації за умови даного тиску. Що дає змогу досить точно підтримувати температуру нагрівання і легко її регулювати, змінюючи тиск граючої пари.

Теплота, що надходить з парою у теплообміннику.

Обігрівання топковими газами використовується там, де потрібно отримати високі температури для дослідження яких застосовують водяну пару або інші теплоносії неможливо. Вони дають змогу нагрівати до 1100⁰С, і створюється у процесі спалювання рідинного газоподібного палива у спеціальних топках. Кількість тепла, яке виділяється при згорянні палива.

Для газоподібного палива кількість теплоти яке виділяється під час його згоряння

де - теплота згоряння газоповітряного палива.

Для об’єктів керування де використовуються теплота електричної енергії. Кількість теплоти, яка виділяється електронагрівачем

Теплота від електронагрівача може подаватися через теплопередачу, конвекцію та променеве випромінювання. Два останні списки, як правило, використовуються одночасно.

Якщо нагрівання теплообмінника здійснюється нагрітою (висококипячею) рідиною то кількість теплоти, що переноситься потоком нагрітої рідини, визначається рівнянням:

Випарні установки – випаровування застосовують для збільшення концентрації розчинів нелегких речовин, виділення з розчину чистого розчину (дистиляція). І кристалізації речовин. Для нагріву випаровую чого розчину до кипіння використовують водяну пару рідше інші теплоносії (топкові, електронагрів, тощо). Нагрівання випарювального розчину використовується шляхом передачі теплоти через стінку. Випаровування ведуть під вакуумом. При атмосферному і підвищеному тисках. В залежності від методу випарювання випарні установки поділяють на установки поверхневого тиску, у яких розчин контактує з поверхнею теплообміну, та випарні установки контактного типу, де нагрівання здійснюється без розділяючої поверхні теплообміну і випарні установки адіабатичного випаровування.

Розглядаючи випарні установки. Як об’єкти керування, робимо висновок, що вони можуть мати такі вихідні параметри: температури Т, концентрацію Q (або густину) упареного розчину; тиск яку установка працює під вакуумом, чи підвищеним тиском, а також рівень рідини в нижній частині установки. Вихідними параметрами будуть: витрати свіжого розчину Fp Який підлягає випарюванню; витрати енергоносія, витрати упареного розчину, а також витрати пари, якщо процес випаровування здійснюється під тиском

Рис. Структурна схема випарювальної установки, Як об’єкт керування.

Рівняння матеріального балансу всього процесу випарювання має вигляд:

Рівняння математичного балансу за абсолютно сухим компонентом, який перебуває у розчині має вигляд:

З рівняння маємо

Звідси кількість випареної води становить

Рівняння теплового балансу за абсолютним сухим компонентом, який перебуває у розчині має вигляд:

де Qp – масові концентрації цільового компонента відповідно у свіжому і кінцевому розчині;

- густина цих розчинів.

З рівняння маємо

Звідки кількість випареної енергії води становить

Рівняння теплового балансу випареної речовини має вигляд

Витрати складають теплового навантаження апарата, ними часто нехтують при моделювання: тоді

Кількість теплоти, яка передається граючою речовиною випарної установці визначається рівнянням

Масообміні об’єкти керування. До них відносяться

1. абсорбція – вибіркове поглинання газів (парів) із газової суміші рідким асорбентом;

2. адсорбція – поглинання газів парів, або розчинених у рідині речовин поверхнею пористого твердого поглинача;

3. ректифікація – часткове або повне розділення гомогенних рідких сумішей на компоненти в результаті різниці їх якостей;

4. сушіння – виділення вологи з твердих матеріалів за рахунок випарювання;

5. екстракція – витяжка речовини розчиненої у рідині іншою рідиною, яка практично не змішується;

6. екстрагування – витяжка речовини з твердого пористого матеріалу за допомогою розчинника;

7. кристалізація – виділення твердої дози у вигляді кристалів з пористих розчинників або розплавів.

Розчинення – перехід твердої дози у рідину за рахунок розчинника.

Масообмін можливий лише за наявності нерівноваженості фаз. Цільовий компонент переходить з фази, де його вміст вищий у фазу, у якій його вміст нижчий рівноважного. Чим більшим є відхилення від стану рівноваги, тим інтенсивніше йде процес масопередача.

Перенос речовини всередині фази може проходити шляхом молекулярної реакції якщо середовище нерухоме, або через конвекцію і молекулярну реакцію одночасно якщо перенос відбувається у рухомому середовищі.

Основним рівнянням молекулярної дифузії є перший закон Фіка:

де М – маса речовини, яка профільтрована за час t через поверхню S, - змінна концентрації речовини.

Кнвективна дифузія – це дифузія у рухомому середовищі. Закон конвективної дифузії дозволяє визначити кількість речовини, яка переноситься із однієї фази до межі другої

Абсорбція поділяється на фізичну абсорбцію і хемосорбцію. При фізичній абсорбції поглинаючий компонент не вступає у взаємодію з абсорбентом. Такий процес збільшеного зворотній. Хемосорбція передбачає хімічне з'єднання цільового компонента з абсорбентом, у результаті якого створюється нова речовина. Процес абсорбції завжди супроводжується виділенням теплоти.

Розчинність газів у абсорбентах залежить від фізичних та хімічних властивостях газів та їх рідинної фаз. Температури а також тиску газу.

Розглядаючи процес абсорбції як об’єкт керування. Можна відмінити для неї чотири вихідні регулюючі параметри: концентрацію продукту у насиченому абсорбенті або у абсорбційному газі, температуру, тиск та рівень абсорбенту у нижній частині абсорбера. Рівень абсорбенту в апараті є необхідним для забезпечення його залежно матеріального балансу. Тиск у абсорбері відіграє важливу роль, оскільки згідно закону Генрі розчинність газу у рідині збільшується з підвищенням тиску і зниженням температури.

Вихідним параметром абсорбера є: витрати газової суміші, абсорбенту, насиченого абсорбенту з частини апарата і абсорбційного газу, а також витрати холодоносія рис.

Рис. Структурна схема абсорбера як об'єкта керування.

Рівняння матеріального балансу має вигляд:

З рівняння виходить, що кількість цільового продукту, перенесеного з газової фази за одиницю часу становить:

а концентрація цільового продукту у обсязі:

Ступінь вилучення цільового продукту з газової фази

На витрати абсорбенту впливають температура і тиск за яких відбувається процес. Якщо рівняння вагової залежності описується рівнянням Генрі у вигляді то і мінімальні витрати абсорбенту становлять:

У промисловій практиці витрати у абсорбенті

Абсорбцію застосовують у хімічній промисловості в процесі очищення і висушування газів, очищення розчинів, розділення газів і парів.

Процеси абсорбції тісно пов’язані з процесами десорбції. Залежно від природи сил, що діють на поверхню твердого тіла, розділяють фізичну абсорбцію і хемосорбцію. Рівно важність при абсорбції характеризується залежностями кількості речовини, яка поглинається одиницею маси або об’єму одного абсорбенту від температури і масової концентрації поглинаючої речовини у паро газовій суміші або розчині.

Залежність між рівноважними концентраціями фаз під час абсорбції

або

при T=const називається ізотермічними адсорбції. То процес абсорбції як об’єкт керування має такі вихідні параметри: концентрація цільового компонента Q у газовій суміші або рідині на виході апарата температура процесу та тиск газової суміші рис.

Рис. Структурна схема абсорбера як об’єкта керування

Вихідні параметри такі: витрати газової суміші, витрати сорбенту. Якщо він подається безпосередньо; витрати абсорбційного газу, які впливають на тиск газу у абсорбері, витрати теплоносія, якщо процес протікає за умови підвищених температур.

Процес абсорбції завжди супроводжується зростанням температури, у цьому разі використовують залежність абсорбційної властивості від тиску.

Процес фізичної адсорбції описується рівнянням Ленгмюра

Ректифікація – це процес протитечійної взаємодії двох неврівноважених фаз рідини і пари, яка випаровується за цієї рідини. При цьому пара постійно збагачується компонентом, а рідина високо киплячим.

Процеси ректифікації реалізуються періодично або безперервно; під тиском, вакуумом або при атмосферному тиску. Свіжий розчин підігріється до температури кипіння і подається на верхню тарілку вичерпної частини колони. Флегма надходить на верхню тарілку закріпляючої частини колони і стікає під тарілкою в колону, взаємодіючи з парою яка піднімається до вичерпної (нижньої) частини.

Важкі компоненти накопичуються у кубі колони. Частина якого відводиться у вигляді кубового замінника. Друга частина нагрівається до температури кипіння у внутрішньому або виносному кип’ятильнику, створюючи рушійну силу у нижній частині колони.

Матеріальний баланс усієї ректифікаційної колони для витрат має вигляд

а для легкого компонента

, умовно можна розділити на дві частини: нижню (вичерпну) і верхню (закріпляючу). Верхня частина колони характеризується подальшими параметрами: концентрація цільового компонента, температура Т₁і тиск пари Р рис.

Рис. Структурні схеми ректифікаційної колони як об’єкта керування: закріпляючої та вичерпної частини.

Вихідними параметрами можуть бути витрати флегми пари дистиляту і пари вичерпної частини. Останній параметр не відноситься до регулюючих. Матеріальний баланс витрат для верхньої частини має вигляд

Сушіння матеріалів розділяється на: 1) контактна теплота від теплоносія передається до матеріалу через розподільчу стінку; 2) конвективна – теплота передається при безпосередньому зіткненні з сушильним матеріалом; 3) радіаційне – теплота передається інфрачервоним випромінюванням; 4) діелектрична – теплота виділяється під дією струмів високої частоти; 5) сублімаційне – матеріал висушується у замороженому стані за умови глибокого вакууму. Найпоширеніша у промисловості є перші три види сушіння.

Як об’єкти керування сушильний апарат має два вихідні параметри: 1) концентрація вологості у сухому матеріалі; 2) температура сушіння (рис.)

Рис. Структурна схема сушильного апарата як об'єкта керування.

Вихідними параметрами є витрати мокрого матеріалу і теплоносія. Під час контактного матеріалу до початкової температури сушіння і на сам процес сушіння. Витрати теплоти на нагрівання матеріалу.

де Мс – кількість висушеного матеріалу С_М – питома теплоємність висушеного матеріалу; Тн,Тп – температура сушіння і початкова температура матеріалу, який надходить на сушіння.

Тільки на сушіння витрати теплоти становить

Кількість вологого матеріалу, що надходить на сушку.

Загальна кількість теплоти, передбаченої для сушіння матеріалу

На прикінці витрати теплоти у навколишнє середовище становить 5-10% від її загальної кількості.

Для конвективного сушіння використовується гаряче повітря або теплові гази. Гарячий газ виконує функції тепло і волого носія. Скільки вміст парів у газі характеризується парціональним тиском, то відносна вологість повітря .

Рівняння для вмісту вологи у газі має вигляд.

Якщо сушіння здійснюється гарячим повітрям, то

Оскільки Р_max=f(t) то вміст вологи m_n є одиницею відносної вологості і температури сушіння Т.

Часто для моделювання процесу сушіння необхідною є ентальпія вологого повітря.

Рівняння матеріального балансу конвективного апарата щодо витрат має вигляд

де масові витрати вологого і сухого матеріалу, - витрати вологи

Кількість висушеного матеріалу становить:

де - відносні вологості мокрого і висушеного матеріалу.

З цього рівняння відносна вологість сухого матеріалу становитиме

Рівняння матеріального балансу сушільного апарата за вологістью буде:

де витрати абсолютного сухого повітря - відносна вологість повітря відповідного до входу в сушильний апарат і на його виході.

Кількість випареної води з мокрого матеріалу

Рівняння теплового балансу конвективного сушильного агрегату:

де теплота, що відводиться до калорифера; - теплота, що надходить з повітрям до калорифера; - теплота, що надходить до апарату з вологим матеріалом; - теплота, що надходить з вологою, випареною з матеріалу; - теплота, що надходить з транспортним пристроєм, що виходить з апарата.

Кількість теплоти, що витрачена на нагрів повітря у калорифері.

де - витрати повітря; - ентропія повітря на вході і виході калорифера.

Хімічні процеси відбуваються у спеціальних апаратах які називаються хімічними реакторами і передбачають, що в них відбуваються хімічна реакція між двома або більше речовинами. Хімічні процеси класифікуються такими ознаками: 1) тип механізму хімічного перетворення; 2) Термічні умови; 3) агрегатний (фазовий) стан реагентів; 4) кількість каталізатора.