Законы распределения, используемые в теории надежности

Закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

В теории надежности наибольшее распространение получили следующие законы распределения случайных величин f(t):

для дискретных случайных величин –
биноминальный закон;
закон Пуассона;

для непрерывных случайных величин -
экспоненциальный закон;
нормальный закон (закон Гаусса);
гамма-распределение;
закон Вейбулла;
c² - распределение;
логарифмически-нормальное распределение.

Биноминальный закон распределения числа n появления события A в m независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, вероятность непоявления события A равна q=1-p; число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n событий в испытаниях будет

,

где - число сочетаний из m по n.

Свойства распределения следующие:

1) число событий n - целое положительное число;

2) математическое ожидание числа событий равно mp;

3) среднеквадратическое отклонение числа событий

.

При увеличении числа испытаний биноминальное распределение приближается к нормальному со средним значением n/m и дисперсией p(1-p)/m.

Нормальное распределение (рис. 1) случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.

Плотность вероятности отказов

f(t) = еxp[-(t-T)²/2s²],

где T - средняя наработка до отказа; s - среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы.

Вероятность отказа время t

F(t)= еxp[-(t-T)²/2s²].

Значения F(t) сводятся в стандартные таблицы.

Значение функции распределения определяется формулой

F(t) = 0,5 + Ф(u) = Q(t); u = (t-T) / s.

Вероятность отсутствия отказа за время t

P(t) = 1-Q(t) = 1-[0,5+Ф(u)] = 0,5 - Ф(u).

График l(t) показан на рис. 1. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после T начинает приближаться к асимптоте:

y=(t-T)/s.

Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени - характерный признак нормального распределения.

Нормальное распределение существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета времени t:

в выражении F(t) для нормального распределения - начало эксплуатации объекта, т.е. момент, когда начинается процесс износа и старения,

в выражении P(t) для экспоненциального распределения - момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент может быть расположен в любой точке на оси времени).

Представления распределений:
а – экспоненциальное; б - g-распределение;
в - Вейбулла; г - нормальное; д - усеченное нормальное; е - Рэлея

Усеченное нормальное распределение (рис. 1). Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -¥ до +¥, а время безотказной работы может быть только положительным, следует рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью вероятности отказов

f(t) = еxp[-(t-T₁)²/2s²].

Средняя наработка до отказа в усеченном распределении и параметр T₁ неусеченного нормального распределения связаны зависимостью

T = T₁ + f(t) = .

При T/s ³2, что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент c мало отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

Вероятность безотказной работы определяется из выражения

P(t) = .

Интенсивность отказов находится из

l(t) = .

Гамма-распределение (g-распределение) случайной величины

(рис. 1). Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами l₀, плотность вероятности отказа устройства

f(t) = ,

где l₀ - исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов. Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств.

Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа данного устройства,

P(n³k) = 1 - ехp(- l₀t).

Плотность вероятности отказа устройства за время t

f(t)= = .

Среднее время работы устройства до отказа: T₁ = kT₀ = k/l₀.

Интенсивность отказов устройства

Вероятность безотказного состояния устройства

P(t) = еxp(-l₀t) .

При k = 1 g-распределение совпадает с экспоненциальным распределением.

При увеличении k g-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

Распределение Вейбулла.Для случая, когда плотность потока отказов изменяется с течением времени, функция распределения времени до отказа приобретает вид, показанный на рис. 1.

Плотность вероятности отказов этого распределения:

f(t) = lat^a-1еxp(-l₀t^a).

Вероятность отсутствия отказа за время t

P(t) = еxp(-l₀t^a).

Интенсивность отказов

l(t) =al₀t^a-1.

Параметры a и l₀ - параметры закона распределения. Параметр l₀ определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При a = 1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при a < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при a > 1 - монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры a и l₀, с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения - признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения (a = 1,4 - 1,7).

Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:

T = .

Значения Г (гамма-функции) табулированы.

Распределение Рэлея - непрерывное распределение вероятностей с плотностью

p(x) = x/ s² exp(-x²/2 s²) при x > 0;

p(x) = 0 при x£0,

зависящей от масштабного параметра s > 0. Распределение имеет положительную асимметрию, его единственная мода находится в точке x = s. Все моменты распределения Рэлея конечны.

Также как и распределение Вейбулла или g-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется:

f(t) = t/ s² еxp(-t²/2s²)

Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения

P(t) = еxp(-t²/2 s ²)

Интенсивность отказов находится из l(t) = t/ s²

Средняя наработка до первого отказа составит Т= .