Моделирование реализаций случайных процессов

На этапе исследования и проектирования систем при построе­нии и реализации машинных моделей (аналитических и имитацион­ных) широко используется метод статистического моделирования (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т.е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделиро­вание представляет собой метод получения с помощью ЭВМ стати­стических данных о процессах, происходящих в моделируемой сис­теме. Для получения представляющих интерес оценки характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с ис­пользованием методов математической статистики,

Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого ал­горитма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования: - для изучения стохастических систем;

- для решения детерминированных задач.

Основной идеей, которая используется для решения детерми­нированных задач методом статистического моделирования, являет­ся замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некото­рой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. При такой замене погрешность уменьшается с увеличением числа испы­таний (реализации моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S полу­чается серия частных значений искомых величин или функций, ста­тистическая обработка которых позволяет получить сведения о по­ведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализации N достаточно велико, то полу­ченные результаты моделирования системы приобретают статисти­ческую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приня­ты в качестве оценок искомых характеристик процесса функциони­рования системы S.

При статистическом моделировании систем одним из основ­ных вопросов является учет стохастических воздействий. Количест­во случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования сис­темы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеб­лется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объ­екта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соответственно большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, ре­зультаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования последовательностей случайных чисел требуемого качества во мно­гом определяет возможность практического использования машин­ного моделирования системы.

Понятие «статистическое моделирование» тесно связано с по­нятием «метод Монте-Карло» и почти ему тождественно.

Для решения задач методом Монте-Карло необходимо полу­чать на ЭВМ последовательность выборочных значений случайной величины с заданным распределением. Такой процесс принято на­зывать моделированием случайной величины. Случайные величины обычно моделируют с помощью преобразований одного или не­скольких независимых значений случайной величины а, равномерно распределенной в интервале (0,1). Независимые случайные величи­ны, равномерно распределенные в интервале (0,1).

Можно выделить следующие этапы моделирования случайных величин:

· генерирование N реализации случайной величины с требуемой функцией распределения;

· преобразование полученной величины, определяемой математи­ческой моделью;

· статистическая обработка реализации.

Особенностью первого этапа является то, что все методы для получения заданного распределения используют преобразование равномерно распределенной величины.

Конструктивно задаются случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,1), (0,l), далее производится ото­бражение и получается новая случайная величина с распределением, определяемым решаемой задачей, в общем случае может быть довольно сложным.

Далее следует получение некоторых характеристик. При пара­метрических оценках вычисляется некоторая функция . При непараметрическом задании функций распределения обычно вычисляются плотности или функции распределения. Чаще всего находят оценки математической ожидания. Погрешность оценки оп­ределяется дисперсией (если она известна) по числу экспериментов N.

В результате можно выделить следующие этапы (рис. 4.1):

- подготовка исходных данных (блок 1),

- генерирование равномерно распределенных случайных чисел (блок 2),

- преобразования для получения заданного закона распределения (блок 3);

- выполнение дополнительных преобразований в соответствии с проблем ной областью (блок 4);

- статистическая обработка (блок 5).

Рис. 4.1. Технологический процесс в Монте-Карло системах

где:

- ПИД - подготовка исходных данных,

- ГРРСЧ - генерирование равномерно распределенных случайных чисел;

- ГПЗ - генерирование произвольного (заданного) закона распре­деления;

- ДПр - дополнительные преобразования;

- СО - статистическая обработка.

Имитационные системы имеют следующие функциональные блоки:

- имитации входных процессов;

- имитации правил переработки входной информации исследуемой системы;

- накопления информации в результате моделирования;

- анализа накопленной информации;

- управления имитирующей системы.

Традиционный подход использует все классы задач, что и в методе Монте-Карло. Рассмотрим подробнее аналитический подход задания экзогенных переменных (первый случай). Они являются вы­ходными другой подсистемы макросистемы и сами представляют собой макромодель. В рассматриваемом случае характеристики за­даны аналитически.

Информационно технологическая блок-схема представлена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Технологический процесс имитационной системы

ГСП - генерирование случайных (входных) процессов;

ИС - имитационная система.

На первом этапе находят наиболее подходящие методы и ал­горитмы для описания аналитических функций распределения и проводят вычисления (блок 1) для определения исходных данных, например, при аппроксимационных методах - координаты узлов, ко­эффициентов и т.п.

Во втором и третьем блоках производится генерирование слу­чайных чисел с равномерным распределением x, и экзогенных слу­чайных процессов z.

Блок 4 имитирует работу исследуемой системы, результаты его работы накапливаются для последующей статистической обра­ботки. В последнем, пятом, блоке осуществляется статистическая обработка.

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. В качестве базового может быть принят любой удобный в случае моделирования конкретной системы S процесс (например, пуассоновский поток при моделировании Q-схемы). Однако при дискретном моделировании базовым процессом является последовательность чисел , представляю­щих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных величин или – в статистических терминах- повторную выборку из равномерно распределен­ной на (0,1) генеральной совокупности значений величины x.

Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение в интервале (а,b), если ее функция плотности (рис. 4.3,а) и распределение (рис. 4.3,6) соответственно примут вид:

Рис. 4.3. Равномерное распределение случайной величины

Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью ЭВМ функционирования вероятностной модели некоторого объекта.

Задачи статистического моделирования состоят в том, чтобы научиться воспроизводить с помощью ЭВМ поведение таких моделей, например:

- с помощью специальных методов и средств вырабатывать программы реализации случайных чисел;

- с помощью этих чисел получать реализацию случайных величин или случайных процессов с более сложными законами распределения;

- с помощью полученных реализации вычислять значения величин, характеризующих модель, и производить обработку результатов экспериментов;

Устанавливать связь алгоритмов моделирования с алгоритмами решения задач вычислительной математики с помощью метода Монте-Карло и строить так называемые «фиктивные» модели, т.е. модели, не имеющие связи с объектом моделирования, но удобные в вычислительном отношении и позволяющие вычислять нужные нам характеристики объекта.

Моделирование случайных процессов строится на основе базовых распределений случайных величин.