Моделирование случайных чисел с равномерным распределением. Формирование случайных чисел с заданным законом распределения.

Необходимость получения случайных чисел подчиняющихся распределению определенного вида при моделировании связана со случайным характером изучаемых процессов. Для получения таких чисел служит равномерно распределенная последовательность случайных чисел на интервале [0, 1), которая используется для получения случайных чисел любого типа распределения. В программное обеспечение ЭВМ включены специальные программы - датчики случайных чисел, обращение к которым приводит к выдаче случайного значения в интервале [0, 1). Число значащих цифр зависит от реализации датчика случайных чисел и возможностей ЭВМ. Для описания системы с очередью и одним прибором необходим именно такой генератор. Обычно генератор задан в виде функции и выдает шестизначное случайное число, равномерно распределенное на интервале от 0,000000 до 0,999999 включительно. Для удобства дальнейшего изложения будем считать, что эта функция имеет имя RAND.

Алгоритмов генерирования случайных чисел достаточно много чаще всего используется следующий. Представим для простоты, что необходимо генерировать случайные четырехзначные равномерно распределенные число на интервале от 0,0000 до 0,9999 включительно. Для этого в алгоритме используют два положительных, нечетных целых числа, каждое из которых может содержать до четырех цифр. Первое из этих двух чисел, никогда не меняющее свое значение называется "ядром", второе, изменяющееся - "множителем". Каждый раз, когда надо получить новое случайное число, значение множителя изменяют в соответствии с некоторой последовательностью. Первым шагом алгоритма является умножение ядра на множитель. Результат (в общем случае) - восьмиразрядное целое число. Его используют для получения нового значения множителя, применяемого на следующем шаге алгоритма. При этом правые четыре цифры произведения используются в качестве нового множителя, средние, умноженные на 10^-4 - в качестве случайного числа.

Получаемая таким образом последовательность случайных чисел обладает двумя недостатками:

1. Множитель и ядро могут быть нулями.

2. Последовательность случайных чисел, выработанных ранее повторяется. Количество случайных чисел, выработанных прежде, чем они могут повторяться, называется периодом (или длиной) генератора случайных чисел.

Для рассматриваемой задачи с очередью и одним прибором, необходимо иметь целые значения равномерно распределенных случайных чисел для задания интервалов прибытия заявок и интервалов обслуживания. Специфика описания выборок случайных чисел приводит к необходимости определения наименьшего и наибольшего значения целых чисел в выборке. Например, необходимо установить, что время обслуживания распределено равномерно и заключено в интервале [12, 20]. Средним арифметическим выборки является 16, а размах (в статистическом смысле) 8. В имитационном моделировании размахом называют половину этой величины, что позволяет компактно записывать свойства выборки 16±4. Такую запись, общий вид которой A±B, часто используют для описания равномерного распределения, включающего целые значения от A-B до A+B, где A и B также целые

Случайное число из интервала A±B определяют добавлением к наименьшему возможному значению A-B "случайной доли" размаха (в статистическом смысле) 2*B. Значение датчика случайных чисел рассматривается как "случайная доля", т.е. значение целого равномерно распределенного случайного числа определяется как целая часть результата вычисления:

(A - B) + RAND*2*B

Однако при этом возникает проблема получения наибольшего значения A+B, т.к. максимальное значение датчика случайных чисел 0,999999. В этой связи вычисляют значение целого равномерно распределенного случайного числа по формуле:

(A - B) + RAND*(2*B+1)

Таким образом, если установлено 8±3, то имеем следующие равновероятные значения: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Вероятность получения каждого равна 1/7.

Кроме рассмотренного существуют другие методы генерирования случайных чисел. В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

· квадратов;

· произведений;

· мультипликативный конгруэнтный;

· смешанный конгруэнтный.

Существует два метода получения случайных величин с заданным законом распределения из равномерно распределенных на интервале [0,1) случайных чисел - с помощью аналитических преобразований или с использованием табличных преобразований. Рассмотрим эти методы.

Метод аналитического преобразования случайных величин

Большинство способов этого метода преобразования основаны на использовании последовательности равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел {xi}. В математической статистике доказывается теорема: если случайная величина Х имеет плотность распределения f(х), то распределение случайной величины Y=F(x) является равномерным в интервале (0,1). Здесь под F(x) понимается функция распределения случайной величины Х. Следовательно, можно поступить наоборот: построив функцию распределения F(x), выбирает случайное число Y из равномерного распределения в интервале (0,1) и определяет то значение аргумента х , для которого F(x) = Y. Полученная таким образом случайная величина Х будет иметь заданную функцию распределения F(x).

Эта же задача может быть решена не только графическими построениями, но и рядом других способов. В частности, аналитический способ основан на обратном преобразовании x = F -1(y), где F -1 - функция, обратная функции F. Это преобразование сводится к решению интегрального уравнения относительно х_i.

,

т.е. определяется такое значение x_i, при котором функция распределения равна y.

Экспоненциальное распределение.

Чтобы получить случайное число x_i, распределенное по экспоненциальному закону, необходимо решить уравнение

После интегрирования получим

Решая относительно x_i и учитывая, что распределение (1-x_i) и x_i эквивалентны, будем иметь

x_i =- 1/ λ*ln x_i

Нормальное распределение.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения имеет вид:

где: математическое ожидание Mx = m; дисперсия Dx = S²_x

Для имитации нормально распределенных случайных величин используется следующее преобразование: x= Mx + u * S_x ,

где u имеет плотность вероятностей

Для получения случайных чисел, подчиненных нормальному закону распределения, можно воспользоваться центральной предельной теоремойтеории вероятностей (теоремой Ляпунова). Сущность теоремы состоит в том, что закон распределения суммы m независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения, при неограниченном увеличении числа слагаемых m приближается к нормальному.

В общем случае сумма m равномерно распределенных в интервале (a,b) независимых случайных величин стремиться к нормальному распределению с математическим ожиданием M(x)=m*(a+b)/2 и дисперсией S²_x = m*(a+b)²/12.

Если использовать распределение со значениями a=0; b=1, то суммарное распределение будет иметь следующие параметры: M(x)=m/2 и дисперсией S²_x = m/12.

Метод табличного преобразования случайных величин

Этот метод заключается в том, что используется таблица накопленных или относительных частот желаемого распределения. Например, предположим, что случайная величина должна получать значения 2, 5, 8, 9 и 12 с относительной частотой 0,15; 0,20; 0,25; 0,22 и 0,18 соответственно. Эта данные приведены в таблице.

Значение случайной величины	Относительная частота	Накопленная частота	Диапазон	Интервал
	0,15	0,15	0,0÷0,15
	0,20	0,35	0,15+÷0,35
	0,25	0,60	0,35+÷0,60
	0,22	0,82	0,60+÷0,82
	0,18	0,18	0,82+÷1,0

Предположим, что необходимо разыграть случайное число в соответствии с таблицей. Сначала разыгрывается случайная величина на интервале [0,1). Пусть этим числом будет 0,523664. Согласно таблице это число попадает в интервал 3, следовательно, окончательно случайная величина равна 3.

Для непрерывной случайной величины в левом столбце вместо конкретных значений необходимо указывать интервал.

36.Модель 4 сфер влияния: барьеры на пути перемен и стратегии их преодоления.

Сферы влияния позволяют легче понять, с чем руководитель сталкивается и что он может сделать. Сфера влияния человеческих ресурсов фокусируется на потребностях и навыках, структурная сфера - на регулировании и ясности, политическая сфера - на конфликте и аренах, а сфера корпоративной культуры - на потере смысла и важности создания новых символов и уклада.

Данная модель рассматривается как базовая концепция, которая дает перспективные оценки и гипотезы. Эта теория не обязательно должна быть правильной, поскольку может быть изменена по мере поступления информации.

Таблица 1. Обзор модели четырех сфер влияния

Основные понятия	Сферы влияния
Структурная	Человеческие ресурсы	Политическая	Корпоративная культура
Метафора для организации	Завод или машина	Семья	Джунгли	Карнавал, храм или театр
Центральные представления	Правила, роли, цели, стратегии, технологии, окружающая среда	Потребности, навыки, взаимоотношения	Власть, конфликт, конкуренция, организационная политика	Культура, смысл, метафора, ритуал, церемония, истории, герои
Образ руководителя	Общественная архитектура	Полномочия	Защита интересов	Вдохновение
Основные проблемы руководства	Настроить структуру на задачу, технологию, окружающую среду	Уравнять нужды организации и людей	Выбрать повестку дня и обеспечить базу поддержки	Создавать веру, красоту, смысл

Обзор модели в табл. 1 показывает, что каждая из сфер влияния имеет собственный образ реальности.

Насколько организации стали повсеместными и господствующими, настолько же они стали трудными для понимания и управления. Руководители слишком часто полагаются на узкие модели, которые охватывают только часть реальной жизни организации. Обучение многим способам рассмотрения, или сферами влияния, является защитой против беспомощности.

Каждая из сфер влияния является одновременно мощной и последовательной. Сообща они делают возможным комплексную реорганизацию, рассматривая одно и то же явление с разных точек зрения. Когда ситуация кажется безнадежно запутанной и стандартные инструменты не работают, четыре сферы - это могучий инструмент для обретения ясности, осознания новых вариантов выбора и отыскания работоспособных стратегий.

Каждая сфера выдвигает на первый план ряд барьеров и постулирует возможности для закрепления перемен. Таблица 2

Сферы влияния	Барьеры на пути перемен	Важнейшие стратегии
Человеческие ресурсы	Тревога, неопределенность; люди чувствуют себя некомпетентными и нуждающимися в поддержке	Подготовка, направленная на развитие новых навыков; участие и вовлеченность; психологическая поддержка
Структурная	Потеря ясности и стабильности; неразбериха, хаос	Коммуникация, выравнивание и переговоры о пересмотре официальных моделей и стандартов
Политическая	Потеря власти и полномочий; конфликт между победителями и проигравшими	Создание арен, на которых могут быть заново обсуждены спорные вопросы и сформированы новые коалиции
Корпоративная культура	Потеря смысла и цели; цепляние за прошлое	Создание ритуалов переходного периода; ориентир на будущее, исходя из ошибок прошлого