Похідні вищих порядків

Таблиця похідних основних функцій

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru

ПОХІДНА ФУНКЦІЇ,ЩО ЗАДАНА НЕЯВНО

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru

Означення диференціала функції, його геометричний зміст

Нехай функція похідні вищих порядків - student2.ru диференційована на відрізку [a, b]. За означенням похідної функції похідні вищих порядків - student2.ru в точці х: похідні вищих порядків - student2.ru

Оскільки похідні вищих порядків - student2.ru , то похідні вищих порядків - student2.ru , де похідні вищих порядків - student2.ru - нескінченно мала величина.

Маємо: похідні вищих порядків - student2.ru .

похідні вищих порядків - student2.ru Величину похідні вищих порядків - student2.ru (при похідні вищих порядків - student2.ru ) називають диференціалом функції похідні вищих порядків - student2.ru і позначають похідні вищих порядків - student2.ru або похідні вищих порядків - student2.ru .

Диференціалом функції похідні вищих порядків - student2.ru в точці х називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу: похідні вищих порядків - student2.ru або похідні вищих порядків - student2.ru

Диференціал функції похідні вищих порядків - student2.ru , що відповідає значенню х і похідні вищих порядків - student2.ru , є приростом ординати дотичної до графіка функції похідні вищих порядків - student2.ru в точці х. похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru

Тема:Похідні і диференціали вищих порядків

Похідні вищих порядків

Нехай на похідні вищих порядків - student2.ru існує похідна похідні вищих порядків - student2.ru , яка, в свою чергу, є диференційованою на похідні вищих порядків - student2.ru .

Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто похідні вищих порядків - student2.ru , називається похідною другого порядку або другою похідною функції похідні вищих порядків - student2.ru і позначається похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru . Отже, похідні вищих порядків - student2.ru або похідні вищих порядків - student2.ru .

Якщо на похідні вищих порядків - student2.ru існує похідні вищих порядків - student2.ru , яка, в свою чергу, є диференційовною на похідні вищих порядків - student2.ru , то похідна третього порядку функції похідні вищих порядків - student2.ru на похідні вищих порядків - student2.ru це похідні вищих порядків - student2.ru .

Аналогічно, похідна четвертого порядку похідні вищих порядків - student2.ru і так далі. Похідна похідні вищих порядків - student2.ru -го порядку функції похідні вищих порядків - student2.ru на похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru .

Означення 2. Функція, яка має похідну похідні вищих порядків - student2.ru -го порядку похідні вищих порядків - student2.ru на похідні вищих порядків - student2.ru ( похідні вищих порядків - student2.ru -у похідну) називається похідні вищих порядків - student2.ru раз диференційовною на похідні вищих порядків - student2.ru . Якщо ж похідні вищих порядків - student2.ru -а похідна похідні вищих порядків - student2.ru є ще й неперервною на похідні вищих порядків - student2.ru , то функція похідні вищих порядків - student2.ru називається похідні вищих порядків - student2.ru раз неперервно диференційовною на похідні вищих порядків - student2.ru .

У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної похідні вищих порядків - student2.ru -го порядку.

Знайти похідну похідні вищих порядків - student2.ru -го порядку для наступних функцій.

1. похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; …;

похідні вищих порядків - student2.ru або похідні вищих порядків - student2.ru .

Зокрема, якщо похідні вищих порядків - student2.ru , то похідні вищих порядків - student2.ru .

2. похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru і т.д.

Отже, похідні вищих порядків - student2.ru .

3. похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru ;

і т.д.

Отже,.

похідні вищих порядків - student2.ru

4. похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru і т.д.

Отже, похідні вищих порядків - student2.ru .

5. Розглянемо добуток двох нескінченно диференційовних функцій похідні вищих порядків - student2.ru та похідні вищих порядків - student2.ru .

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru і т.д.

Застосувавши метод математичної індукції можна показати, що

похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

де похідні вищих порядків - student2.ru , а похідні нульового порядку – самі функції, тобто похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru .

Остання формула називається формулою Лейбніца для знаходження похідні вищих порядків - student2.ru -ої похідної добутку двох нескінченно диференційовних функцій. Її зручно застосовувати, зокрема, якщо один із співмножників – многочлен.

Наприклад, знайти похідні вищих порядків - student2.ru , якщо похідні вищих порядків - student2.ru . З формули Лейбніца маємо

похідні вищих порядків - student2.ru . У нас похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru . Знайдемо всі потрібні похідні:

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru .

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru .

похідні вищих порядків - student2.ru

А тепер розглянемо похідні вищих порядків для параметрично заданих функцій. Має місце теорема.

Теорема 1. Якщо функція похідні вищих порядків - student2.ru задана параметрично похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru для всіх похідні вищих порядків - student2.ru і похідні вищих порядків - student2.ru - двічі диференційовні, то функція похідні вищих порядків - student2.ru має похідну другого порядку, яку можемо знайти за формулою

похідні вищих порядків - student2.ru .

Доведення. Відомо, що похідні вищих порядків - student2.ru . Але

похідні вищих порядків - student2.ru

Зауваження 1. Всі похідні порядку похідні вищих порядків - student2.ru параметрично заданої функції знаходять тільки за означенням. Більш того, навіть для знаходження похідних 2-го порядку часто простіше користуватись означенням, ніж отриманою формулою, що і показують наступні приклади.

Приклад 1.

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru .

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 2.

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru .

Для знаходження другої похідної використовуємо формулу похідні вищих порядків - student2.ru .

Зауваження 2.Зрозуміло, що похідні вищих порядків - student2.ru

а похідні вищих порядків - student2.ru .

Приклад 3. Знайти похідні вищих порядків - student2.ru .

похідні вищих порядків - student2.ru похідні вищих порядків - student2.ru

похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru

Зауваження 3. Для неявно заданих функцій також можна знаходити похідні вищих порядків. При диференціюванні потрібно пам’ятати, що змінна похідні вищих порядків - student2.ru є функцією похідні вищих порядків - student2.ru (як складна), тобто похідні вищих порядків - student2.ru , похідні вищих порядків - student2.ru .

Наприклад, знайти похідні вищих порядків - student2.ru , якщо похідні вищих порядків - student2.ru задана рівнянням:

похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ; похідні вищих порядків - student2.ru ;

похідні вищих порядків - student2.ru

Наши рекомендации