Похідні вищих порядків
Таблиця похідних основних функцій
ПОХІДНА ФУНКЦІЇ,ЩО ЗАДАНА НЕЯВНО
Означення диференціала функції, його геометричний зміст
Нехай функція диференційована на відрізку [a, b]. За означенням похідної функції в точці х:
Оскільки , то , де - нескінченно мала величина.
Маємо: .
Величину (при ) називають диференціалом функції і позначають або .
Диференціалом функції в точці х називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу: або
Диференціал функції , що відповідає значенню х і , є приростом ординати дотичної до графіка функції в точці х.
Тема:Похідні і диференціали вищих порядків
Похідні вищих порядків
Нехай на існує похідна , яка, в свою чергу, є диференційованою на .
Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто , називається похідною другого порядку або другою похідною функції і позначається , , , . Отже, або .
Якщо на існує , яка, в свою чергу, є диференційовною на , то похідна третього порядку функції на це .
Аналогічно, похідна четвертого порядку і так далі. Похідна -го порядку функції на
.
Означення 2. Функція, яка має похідну -го порядку на ( -у похідну) називається раз диференційовною на . Якщо ж -а похідна є ще й неперервною на , то функція називається раз неперервно диференційовною на .
У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної -го порядку.
Знайти похідну -го порядку для наступних функцій.
1. ; ; ; ; …;
або .
Зокрема, якщо , то .
2. ; ;
; ;
і т.д.
Отже, .
3. ; ;
; ;
і т.д.
Отже,.
4. ; ; ;
; і т.д.
Отже, .
5. Розглянемо добуток двох нескінченно диференційовних функцій та .
; ; ;
і т.д.
Застосувавши метод математичної індукції можна показати, що
,
де , а похідні нульового порядку – самі функції, тобто , .
Остання формула називається формулою Лейбніца для знаходження -ої похідної добутку двох нескінченно диференційовних функцій. Її зручно застосовувати, зокрема, якщо один із співмножників – многочлен.
Наприклад, знайти , якщо . З формули Лейбніца маємо
. У нас ; . Знайдемо всі потрібні похідні:
; .
; ; ; .
А тепер розглянемо похідні вищих порядків для параметрично заданих функцій. Має місце теорема.
Теорема 1. Якщо функція задана параметрично , для всіх і - двічі диференційовні, то функція має похідну другого порядку, яку можемо знайти за формулою
.
Доведення. Відомо, що . Але
Зауваження 1. Всі похідні порядку параметрично заданої функції знаходять тільки за означенням. Більш того, навіть для знаходження похідних 2-го порядку часто простіше користуватись означенням, ніж отриманою формулою, що і показують наступні приклади.
Приклад 1.
.
; .
Приклад 2.
; ; ; .
Для знаходження другої похідної використовуємо формулу .
Зауваження 2.Зрозуміло, що
а .
Приклад 3. Знайти .
;
;
Зауваження 3. Для неявно заданих функцій також можна знаходити похідні вищих порядків. При диференціюванні потрібно пам’ятати, що змінна є функцією (як складна), тобто , .
Наприклад, знайти , якщо задана рівнянням:
; ; ;