Властивості паралельного перенесення

Координатні формули паралельного перенесення дають можливість легко довести деякі теореми про паралельне перенесення.

Теорема4.2. Образом прямої в паралельному перенесенні є пряма.

Доведення. Нехай р – деяка пряма, задана рівнянням (6)

Підставивши в це рівняння х'-х₀ замість х і у'-у₀ замість у, дістанемо , або . (7)

Звідси маємо, що множиною образів точок прямої р є також деяка пряма р'.

Наслідок 1. Відповідні в паралельному перенесенні прямі паралельні. Справді, у рівняннях (6) і (7) коефіцієнти змінних х, у і х', у' відповідно рівні, тому р║р' .

Теорема4.3. Образом півпрямої в паралельному перенесенні є співнапрямлена з нею півпряма.

Доведення. Нехай паралельне перенесення, задане формулами (5), переводить точку А(х₁; у₁) у точку А'(х₁ + а; у₁ + b),точку В(х₂; у₂) – у точку В'(х₂ + а; у₂+ b). Після виконання паралельного перенесення матимемо один із двох випадків: а) точка А' не лежить на прямій АВ;б) точка А' лежить на прямій АВ (мал. 4.1).

У першому випадку за попередньою теоремою чотирикутник АА'В'В – паралелограм, у якого вершини В і В' лежать по один бік від прямої АА'. У другому випадку з того, що точка А' лежить на прямій АВ, випливає, що й точка В' лежить на цій самій прямій, бо середина (її координати) відрізка АВ збігається з серединою (її координатами) відрізка А'В,яка лежить на прямій АВ. Отже, півпрямі збігаються. Зрозуміло, що коли дві півпрямі АВ і А'В' розміщені на площині паралельно одна одній і по один бік від прямої АА' або вони збігаються, то в кожному випадку буде таке паралельне перенесення, яке одну півпряму перетворює на іншу.

Теорема 4.4.Паралельне перенесення є рухом.

Доведення. Нехай у паралельному перенесенні (х₀, у₀) точки А(х₁; у₁), В(х₂; у₂) відображаються на точки А'(х₁'; y₁'), В'(х₂'; y₂'). Тоді ; ; ; . ; = = = .

Звідси АВ = А'В',отже, паралельне перенесення є рухом.

Наслідок 2. Образом будь-якої фігури F у паралельному перенесенні є фігура F', рівна фігурі F.

Таким чином, у паралельному перенесенні кожний відрізок відображається на паралельний і рівний йому відрізок, трикутник – на рівний йому трикутник, коло – на рівне йому коло, кут – на рівний йому кут і т.д.

Назвемо, крім того, ще деякі властивості паралельного перенесення.

1. На площині в паралельному перенесенні немає незмінних точок. Справді, образом кожної точки А площини є така точка А' цієї ж площини, що ,при А А'.

2. Незмінними прямими площини у паралельному перенесенні є всі прямі, паралельні вектору .

3. Якщо точка С лежить між точками А і В, то образ С' точки С лежить між образами А' і В' точок А і В у будь-якому паралельному перенесенні.

4. Упорядкованість точок прямої є інваріантом паралельного перенесення площини.

5. Відповідні фігури в паралельному перенесенні мають однакову орієнтацію.

Розглянуті теореми і властивості дають можливість спростити побудову образів фігур у паралельному перенесенні. Так, для побудови образу відрізка досить побудувати образи його кінців, для побудови образа променя – побудувати образ його початку і однієї довільної точки, для побудови образу трикутника будуємо образи його вершин, для побудови образа кола будуємо образ його центра і тим же радіусом описуємо коло і т.д.

Загальні властивості паралельного перенесення можна використати для знаходження інваріантів конкретних фігур у даному паралельному перенесенні. Наприклад, легко переконатися, що медіана, висота, бісектриса трикутника відображається відповідно на медіану, висоту, бісектрису образу трикутника; точка перетину медіан, висот, бісектрис переходить відповідно в точку перетину медіан, висот, бісектрис і т.п.

Розглянемо нескінченну множину Р = { , , , ... , ... , ... , ...} всіх паралельних перенесень площини, тобто множині Р належать усі можливі в площині вектори.

Крім названих вище властивостей, паралельні перенесення множини Р мають ще такі властивості:

1. Композиція двох будь-яких паралельних перенесень і множини Р є також паралельним перенесенням що належить множині Р. Справді, якщо А_і= (А) і А_j= (А_i), то , і = , звідси . Отже, , де ,тобто композиція двох паралельних перенесень і множини Р – це також паралельне перенесення на вектор ,що є сумою векторів і . Вектор ,як і всі інші вектори площини, належить множині Р.

2. Композиція паралельних перенесень множини Р асоціативна.

Нехай маємо три паралельні перенесення А₁= (А), А₂= (А₁), А₃= (А₂). Тоді, виконуючи спочатку паралельні перенесення і , дістанемо А₂= , і після виконання А₃= = ,(8)

де . м Якщо ж виконати спочатку , а потім композицію , то матимемо А₃= = = , (9)

де .

З (8) і (9) маємо , тобто .

3. Паралельне перенесення на вектор залишає незмінними всі точки площини. Таке перетворення площини називається тотожним перетворенням. Отже, серед паралельних перенесень множини Р є тотожне перетворення, яке визначається нуль-вектором.

4. Перетворення, обернене до будь-якого паралельного перенесення з множини Р,є також паралельним перенесенням на вектор, протилежний вектору . Справді, нехай – паралельне перенесення і А – довільна точка площини. Тоді А'= (А) і . Обернене до перетворення ставить у відповідність точці А' таку точку А,яка була її прообразом у перетворенні тобто – обернене перетворення до . Отже, .

Названі чотири властивості є груповими властивостями множини перетворень, вони мають місце в множині Р. Таким чином, теорему доведено.

Теорема 4.5. Множина Р всіх паралельних перенесень площини є групою.

Теорема 4.6.Композиція двох осьових симетрій з паралельними осями є паралельним перенесенням.

Теорема 4.7.Композиція повороту навколо точки і паралельного перенесення є поворотом навколо точки.

Теорема 5.8.Композиція двох поворотів навколо різних центрів є поворотом або паралельним перенесенням.

Гомотетія