Примеры вычисления интегралов

Эйлеровы интегралы.

Содержание

Теоретический материал.............................................................................. 3

Примеры вычисления интегралов.................................................................. 4

Упражнения для самостоятельной работы.................................................... 7

Контрольная работа........................................................................................ 8

Приложение................................................................................................... 17

Учебно-методические материалы................................................................. 20

Эйлеровы интегралы.

1. Гамма-функция Эйлера:

Основное свойство гамма-функции - формула понижения:

Если , то

2. Формула дополнения. При

3. Бета-функция Эйлера:

Связь между Гамма- и Бета- функциями выражается следующей формулой

Примеры вычисления интегралов

Вычислить с помощью Эйлеровых интегралов:

1.1

1.2

1.3

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы следующие интегралы:

2.1

Область существования Бета-функции:

2.2

2.3

Бета-функция непрерывна в области определения и обладает частными производными любого порядка, которые можно найти путем дифференцирования по переменным x и у под знаком интеграла.

Следовательно