Вероятностно-статистиче- ские методы анализа точности обработки

В процессе изготовления деталей машин качество их и, в частности, точность размеров зависят от большего числа технологических факторов, влияющих в различной степени на точность обработки. Зависимости эти носят вероятностный (стохастический) характер. В теории вероятности и математической ста­тистики разработаны методы, с помощью ко­торых можно объективно оценить точностные характеристики реальных технологических процессов. Вероятностно-статистические ме­тоды используют дня оценки точности техно­логических процессов, определения уровня на­стройки станков, оценки стабильности техно­логических процессов, определения ожидаемой доли брака, установления зависимости между точностными характеристиками смежных опе­раций и решения других задач.

Определение поля рассеяния, коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеяния погрешности обработки. Полем рас­сеяния размеров х (рис. 2) называется такой

f(x)i		2A=Af+Az
q z\		i I	q v/2.

О тл-Дг Л0тх тх+А2 х Рис. 2. Поле рассеяния размеров партии деталей

интервал т_х — А _г ^ х^т_х + Д₂ значений х, при котором вероятность Р появления детали с размером х, меньшим чем т_х — А₁ или боль­ше чем т_х + Д₂, практически пренебрежимо мала, т. е. имеет место условие

Р(х <т_х-А₁) = Р(х>т_х + Д₂) = <?/2, (1)

где А! и Д₂ — расстояния соответственно от нижней и верхней границ поля рассеяния до среднего значения т_х; q — вероятность выхода размеров за границы поля рассеяния (обычно принимают q = 0,0027).

Вводя в (1) выражения для дифференциаль­ного f(x) или интегрального F(x) законов рас­пределения, получим

т_х — А_х да

J f(x)dx= f f{x)dx = q/2;

-m_x + A₂ (2)

F(m_x-A₁)=l-F(m_x + A₂) = q/2.

Половина поля рассеяния

Д=(Д,+Д₂)/2. (3)

Для симметричных законов распределений Aj = Д₂ = А.

Для закона распределения случайной вели­чины х, область возможных значений которой не ограничена ни слева, ни справа, нижняя и верхняя границы поля рассеяния могут быть найдены, если известен интегральный закон распределения F(z) нормированной случайной величины Z = (х — т_х) /ст_х, для которой m_z = О и <т₂ = 1. В данном случае т_х,, т₂ — средние значения случайных величин X и Z; а_х, cr_z — средние квадратические отклонения тех же величин. С учетом нормированного закона распределения F(z) уравнение (2) принимает вид

F(z₂) = l-q/2.

Нижний Zj и верхний Z₂ квантили, отве­чающие уровням вероятности q/2 и 1 — qj2,

Z,=AJa_x; Z₂= Д₂/а_х. (5)

Для заданного уровня вероятности q = — 0,0027 значения квантилей Zj и Z₂ опреде­ляются из (4). Если значения квантилей Z_x и Z₂ известны, то по (5) величины Aj и А₂ могут быть определены в долях среднего квадрати- ческого отклонения <з_х:

^Ai = ?1<*_х> A₂ = Z₂a_x. (6)

На основании (3) с учетом (6) поле рассея­ния погрешности размеров, выраженное в до­лях cr_v,

ту

(8)

б)

(7)

2А = (Z₂-Z₁)G_X.

Для сопоставления рассеяния при данном законе распределения с рассеянием при нор­мальном распределении применяют коэффи­циент относительного рассеяния

К = 3<J_X/A — 6<т_х/ (Aj + Д₂).

Для закона Гаусса К = 1. Для одномо- дальных распределений, более островер­шинных, чем гауссовское (коэффициент эксцес­са у₂ > 0), К < 1. Для одномодальных распре­делений, более плосковершинных, чем гауссов­ское (у₂ < 0), значения К > 1.

f(*y

Несимметричность распределения отклоне­ний случайной величины относительно сере­дины А₀ поля рассеяния размеров характери­зует коэффициент относительной асимметрии

тх At	А0 _ А 2 _	X

ol)

	А о А,	тх с ,	X

Рис. 3. Кривые распределения погрешности разме­ров с положительным (а) н отрицательным (б) значениями коэффициентов относительной ассиммет- рии ОС

(9)

а = (т_х~ А₀)/А.

А₂-А,

Ai -Д₂ А_{1 +} А₂

Для симметричных распределений а = 0. Для одномодальных распределений, имеющих положительный коэффициент асимметрии у_1? среднее значение смещено к левой границе по­ля рассеяния (рис. 3,а). В этом случае А₂ > А₁ и согласно (10) имеем а < 0. Для одномо­дальных распределений, имеющих отрица­тельный коэффициент асимметрии у_х, центр группирования смещен к правой границе поля рассеяния. При этом условии А₂ < A_t и, при­меняя (10), получаем а>0 (рис. 3,6).

Так как

то (9) примет вид . Ai-Дг.

(10)

2А

Подставляя (6) и (7) в (8) и (10), получим окончательные выражения для коэффициентов относительного рассеяния и относительной асимметрии:

к =

(11)

■Zt

Zj+Z₂ — Z₂

Определим поле рассеяния 2А и коэффи­циенты К и а для закона распределения слу­чайной величины X, область возможных значе­ний которой ограничена слева и справа (а = = Хнаим ^ * ^ Хнаиб = Ь). В этом случае гра­ницы поля рассеяния принимают равными а и b, т. е.

т_х — Aj = а; т_х + А₂ = Ь. (12)

При этих условиях вместо поля рассеяния пользуются широтой распределения L= 21 или 2А = L= 21 = b — а, где I — параметр закона распределения.

Применяя (8) и (10) и учитывая (12), полу­чим

6а_х 3<j_x 2 т_х — a — b b—a I b—a

a-b

(13)

I

Зависимость вероятного брака деталей от коэффициентов точности и настроенности техно­логических процессов. Точность геометриче­ских параметров детали обычно задает кон­структор; она количественно определяется полем допуска согласно чертежам или техни­ческим условиям. Поле допуска определяется интервалом значений размера х от х₀ — 5 до х₀ + 8, где х₀ — координата середины поля до­пуска; 8 — половина поля допуска (рис. 4). Тех­нологическая точность количественно опреде­ляется законом распределения суммарной по­грешности обработки.

О х0-д х0тх x0+tf х Рис. 4. Вероятный брак деталей q = qx + q2

Если задано поле допуска и известен закон распределения f(x) погрешности размера х, то доля вероятного брака

х₀ — 5 да

<?=<?! +42= j" f(x)dx+ J f(x)dx =

- ⁰⁰ -X₀ + 5

= 1 + F(x₀ — 5) — F(x₀ + 5), (14)

где q₂ — вероятность выхода размеров за нижнюю и верхнюю границы поля допуска (доля брака); х₀ — координата середины поля допуска; 5 — половина установленного поля допуска.

Вводя в (14) выражение для интегрального закона распределения F_z (z) нормированной случайной величины Z = (х — т_х) /и_х, получим

Е =

Для определения смещения уровня на­стройки технологического процесса исполь­зуют коэффициент настроенности процесса

т_х - х₀

(19)

В случае идеальной точности и настроенно­сти процесса по (18) и (19) с учетом (17) полу­чаем г| = 1, Е = ос.

+F,

Зависимость вероятного брака q от коэф­фициентов г| точности и Е настроенности про­цесса найдем при переходе в (15) от вероят­ностных характеристик т_х и а_х к коэффициен­там ц и Е:

"3(1 +£)"	-F2	Г 3(1 — £) 1
КЦ J		L Кг) J

(20)

Вероятность того, что изделие окажется годным,

f	Г 3(1 — E)	— F	"3(1 +■£)"
r z	L Kr\ J		L Кц J

Р = 1 -q-

Для симметричных распределений в силу равенства F(~z) = l—F(z) вместо (20) можно написать

3(1 -Е) Кц

3(1 + Е) Ki)

(21)

<7 = 2-F,

-F,

(15)

Точность и настроенность технологическо­го процесса считаются идеальными, если поле рассеяния размеров совпадает с заданным по­лем допуска, т. е.

т_х — А₁—х₀ — д; т_х + Д₂ = х₀ + 5. (16)

Отсюда вытекают требования к точности процесса и его настройки:

А = Ъо_х/К = 5; т_х = х₀ + аб. (17)

В этом случае доля брака не превышает 0,27 %. Если поле рассеяния располагается вну­три пределов поля допуска, то это значит, что точность процесса завышена и является эконо­мически невыгодной. Если хотя бы одна из границ поля рассеяния выходит за пределы поля допуска, то доля брака увеличивается вы­ше допустимого значения, равного 0,27%.

Для сопоставления поля рассеяния с полем допуска применяют коэффициенты точности

А За_х

^-т-ж- ⁽¹⁸⁾

Для закона Гаусса (21) принимает вид

3(1 -£)' Л .

Если область изменения случайной вели­чины X ограничена слева и справа (а ^ X < Ь), то доля брака или дефектных изделий, вышед­ших за границы поля допуска, определится в зависимости от взаимного расположения по­ля допуска 25 и поля рассеяния 2Д. Харак­терны следующие случаи расположения полей.

1. Поле рассеяния размеров находится в границах поля допуска (рис. 5, а). Этот слу­чай имеет место при х₀ — 5 < а; х₀ + 8 ^ а + 21. Выражая эти неравенства через коэффициенты г| точности и Е настроенности процесса, после преобразований получим

Л(1 + а)< 1 + £;

л(1-а)<1 -Е. (22)

3(1 +£) Л

q = 1 -Ф

-Ф

В этом случае брак отсутствует: q₁=q₂=0. Практически это означает, что выбрано из­лишне точное оборудование и можно, по-ви-

		а 0А х0 тх а+21 /А
		2f

f(4				i
			1	VA
X		а	хо тх хо*	(а	■k21 X

б) ^^//Л 1 1   а\ Хо -9- и тх х0 а+ 21 х0 +   2Р *

Рис. 5. Взаимное расположение поля допуска 25 и поля рассеяния 2А размеров: а — поле рассеяния находится в границах поля допуска; б — поле рас­сеяния размеров выходит за правую границу х0 -I- 5 поля допуска; в — поле рассеяния выходит за левую границу xq — 8 поля допуска; г — поле рассеяния выходит за обе границы допуска

димому, переити на другие, несколько менее точные, но более производительные или более экономичные технологические процессы.

т

Р X

2. Поле рассеяния размеров выходит за ле­вую границу поля допуска; при этом q_t Ф О, q₂ = 0 (рис. 5, в).

При соответствующих этому случаю соот­ношениях г| и Е доля брака деталей в партии

3(1 -Е)

(23)

К_П

3. Поле рассеяния размеров выходит за правую границу поля допуска; при этом q_t = = 0, q₂¥^z0 (рис. 5, б). При этих условиях доля брака

3(1 -Е) Кц

4. Поле рассеяния размеров выходит за обе границы поля допуска; при этом q-^фО, q₂ Ф 0 и одна часть деталей идет в брак испра­вимый, другая часть — в неисправимый (рис. 5, г).

Доля вероятного брака

3(1-я)

— F,

Кц

3(l+£)j

q = 1 + F,

Кц

(25)

В производственных условиях данный слу­чай имеет место при низкой точности процес­са. Это значит, что заданный допуск жестче, чем позволяет оборудование и технологиче­ский процесс.

5. Поле рассеяния размеров лежит вне по­ля допуска, т. е. х₀ — 5 ^ а + 21 или х₀ + 5 ^ а. При этих условиях вероятность нахождения размеров в границах поля допуска равна ну­лю, и, следовательно, все изделия будут соста­влять брак (q = 1) при выполнении неравенств

Л (1 - а) ^ -1-Е или г| (1 + а) ^ - 1 + Е.

(26)

Полученные общие формулы (23) — (25) по­зволяют определить долю вероятного брака q по известному закону распределения и за­данным его математическому ожиданию т_х и среднему квадратическому отклонению а_х или коэффициентам г| точности и Е настроен­ности технологического процесса.

Практический интерес представляет реше­ние обратной задачи: по заданным долям бра­ка q_l и q₂ определить коэффициенты г| точно­сти и Е настроенности процесса обработки.

Рассмотрим случай, когда область измене­ния случайной величины X подчиняющейся закону распределения /(х), не является ограни­ченной ни слева, ни справа. Будем считать, что нам задан закон распределения f(x) суммарной погрешности х, но неизвестны его параметры: среднее значение т_х и среднее квадратическое отклонение о_х. Тогда можно написать выраже­ния для неисправимого q_l и исправимого q₂ брака при наружном обтачивании:

<?2 = 1 - F,

(24)

q₂ = l - F(x₀ + 8).

Выражая величины q_l и q₂ через F_z(z), получим

Я i=F₂

(28)

х_п — m_Y + 5

«2 = 1-^

Вводя обозначения нижнего и верхнего квантилей, отвечающих вероятностям Р₁ и Р₂, получим

х_п — m_v — 5

(30)

Z_P =

(29)

х₀ — т_х + 5

Zp =

Уравнения (28) можно записать в виде F_z(Z_P) = P,=q_x\ F_z(Zp₂) = P₂ = i~q₂.

Если известен нормированный инте­гральный закон распределения, то значения квантилей Z_P] и Zp₂ находятся из (30).

Решив систему уравнений (29) относитель­но т_х и ст_х, найдем

(31)

Zp₂ — Zp, Zp + Zp

m_x = X₂ +

Zp, — Zp₂

В зависимости от значения каждой из соста­вляющих погрешности выбирают тот или иной метод управления.

Задача разделения систематической и слу­чайной составляющих решается различными способами.

Рассмотрим дисперсионный метод разделе­ния суммарной погрешности обработки, для которого разработаны критерии оценки систе­матической и случайной составляющих по­грешности обработки.

Для условий изготовления партии деталей на настроенных станках токарного типа (авто­матах, полуавтоматах) суммарный закон рас­пределения погрешности размеров х партии деталей во всем заданном промежутке време­ни t (от t = 0 до t = Т)

dt,

ехр< -

2aJ(t)

м

1 f [x-m_x(t)Y'

1кт\ v_д

]/2л

(34)

где m_x(t) — функция, характеризующая измене­ния во времени систематических факторов (из­нос инструмента, тепловые и упругие дефор­мации системы и т. п.); <5_x(t) — функция, характеризующая изменение мгновенного по­ля рассеяния размеров, обусловленная зату­плением режущего инструмента, нестабиль­ностью режима обработки, колебаниями при­пуска и твердости материала заготовки и т. п.

Начальные моменты первого и второго порядков суммарной погрешности, подчиняю­щиеся закону распределения (34), определяют по формулам

т

На основании (18) и (19) с учетом (31) полу­чим выражения для определения коэффициен­тов точности технологического процесса

mx (t) dt;

(35)

¹ f

-tJ'

(36)

а, =— ) 1 _rj

-\[ml(t) + ol(t)-}dL

(33)

и его настроенности

Z_Pi + Zp₂ Zp. - Zp

Используя (35) и (36), получим выражение для дисперсии суммарной погрешности:

а х =а,-ат =

Разделение погрешности обработки на систе­матическую и случайную составляющие. В свя­зи с развитием систем автоматического упра­вления точностью технологических процессов важное значение приобретает задача разделе­ния суммарной погрешности обработки на си­стематическую и случайную составляющие.

т т

I

(37)

= jjml(t)dt + ±jol(t)dt-

m_x(t)dt

После преобразований получим оконча­тельное выражение для дисперсии суммарной погрешности обработки:

ст² {*} = с² {m_x(t)} +a² K(t)} + М²{а,(г)}, (38) где а² {m_x(t)} = М {ж²(г)} -М² {m_x(t)>;

а²К(г)}=М{^(0}-М²{сгЛО}.

Из (38) следует, что общая дисперсия по­грешности обработки складывается из трех ча­стей: a² {m_x(t)}, вызванной изменением функ­ции математического ожидания m_x(t), обусло­вленной влиянием систематических факторов; ст²{а_х(£)}, вызванной изменением функции среднего квадратического отклонения a_x(t), обусловленной влиянием случайных факторов, параметры рассеяния которых изменяются с течением времени; M²{o_x(t)}, вызванной по­стоянной составляющей функции o_x(t), обус­ловленной случайными факторами, параметры рассеяния которых не изменяются во времени.

Поделив обе части (38) на сг²{х}, получим

ки введем следующие показатели:

₂ a²K(Q}

у =------------ •

а² '

M²{*_x(t)}

Согласно (39) коэффициенты (40) — (42) удо­влетворяют соотношению

(40) (41) (42)

^Гт + ^Г1 + Г* = 1- (43)

(44)

В (43) левая часть представляет собой сум­му трех положительных величин, равную еди­нице. Следовательно, каждое слагаемое не мо­жет быть больше единицы, поэтому можно написать

O^r^l.

КМ)

= 1. (39)

Для характеристики доли систематической составляющей, вызванной изменением функ­ции т_х (t), количественной оценки доли случай­ной составляющей от изменения функции и доли собственно случайной составляю­щей, вызванной постоянной составляющей функции a_x(t), в общей погрешности обработ­

Если г_т = 0, то a² {m(t)} = 0, и, следователь­но, отсутствует смещение уровня настройки, обусловленное влиянием систематических фак­торов (рис. 6, а, в). Равенство г_т = 0 является количественным признаком стабильности про­цесса по положению центра группирования. Случай r_m = 1 показывает строгую функцио­нальную зависимость систематической по­грешности размеров х от времени t (рис. 6,6). Если г_а = 0, то a² {o_x(t)} = 0, и отсутствует

х \r_m=0,r₆=0) г = 1

--- п

—- m_x(t)= const

----------------------- m_x(t)= 6_x(t)

6_X (t) = const ~~ ^T

r_m*0i m_x(t)+6_x(t)

^------ m_xft)

\rm=h r6=0,r=0

\rm*0ir6*0i mx(t)+ 6x(t) r¥=0 ^ mx(t) mx(t)-6x(t)

6x(t)= const

—m_x(t)-6_x(t)

=0i r₆*0, rjt 0

------ m_x(t)+6_x(t)

___

------------------- const

------- m_x(t)-6_xft)

Рис. 6. Примеры изменения уровня настройки и мгновенного рассеяния во времени: а — уровень на­стройки и мгновенное рассеяние сохраняют постоянное значение; б — функциональная зависимость погрешности размеров от времени; в — изменение рассеяния при постоянной настройке; г — изменение уровня настройки при постоянном рассеянии; д — одновременное изменение уровня настройки и мгно­венного рассеяния

Рис. 7. График точности обработки деталей при изменении уровня настройки по степенной зависимости и постоянному мгновенному рассеянию размеров:

/ t \^1,п

Х_В (0 = ^т* (0 + ^3ао; ™х (t) = то + 2l_m I — 1 ;

(0 = ^тх (t) - За₀; т_х = т₀ + 2l_m ^ * ^ ;

⁶ Г 2 ^ ____________ ~|^1/2

переменная составляющая функции ст_х (г), обус­ловленная влиянием случайных факторов, па­раметры рассеяния которых изменяются во времени (рис. 6, а, в, г). Условие г_с = 0 свиде­тельствует о стабильности процесса по рассея­нию.

Если г = 1, то уровень настройки и поле рассеяния не изменяются во времени, т. е. m_x(t) = т_х~ const; o_x(t) = о_х = const (рис. 6,а). Равенство г = 1 является количественным при­знаком стабильности процесса как по рассея­нию, так и по положению уровня центра группирования.

Рассмотрим пример расчета показателей ^rm> ^rl ^{и г2}- Пусть уровень настройки техноло­гического процесса изменяется по степенному закону, а мгновенное рассеяние размеров остается постоянным (рис. 7):

/ t У¹" _m (t) = _m +2/ — ;

a_x(t) = ст₀ = const, п > О,

где т₀, а₀ — параметры мгновенного гауссов- ского распределения в начальный момент времени t = 0; l_m — половина диапазона изме­нения функции m_x(t).

Показатели систематической и случайных составляющих погрешности обработки полу­чают следующие значения:

r*(n,\m=const) Рис. 8. Зависимость показателя гт2 систематиче­ской составляющей погрешности обработки от аргу­мента пи различных значений параметра Хтпри из­менении уровня настройки по степенному закону и постоянном мгновенном рассеянии

'2=0; (46)

(п+1)^[3](п + 2) 4пк²_т + (п+\)²(п + 2У

гдеА^-к

Графики семейства функций (Х_т = const, л), определяемых (46), показаны на рис. 8. Для этих функций характерно наличие мак­симума при п = (|/5 — 1)/2 « 0,6. Практически это означает, что при значении п={\/5—1)/2 доля систематической составляющей, вызван­ной изменением уровня настройки, в общей погрешности обработки (будет наибольшей. Отсюда следует, что для приближенных расче­тов точности можно рассматривать изменение уровня настройки по линейной зависимости. В этом случае доля систематической соста­вляющей в общей погрешности обработки бу­дет мало отличаться от максимального значе­ния, но при этом выполнение точностных расчетов существенно упрощается.

Методы оценки детерминированности и не­линейности технологического процесса. Для оценки уровня точности процессов обработки используют критерии точности, настроенно­сти, стабильности и устойчивости. Большое значение имеет также определение детермини­рованности и нелинейности хода технологиче­ского процесса. Показатель степени детерми­нированности позволяет выявить систематиче­ские погрешности, найти их долю в общей погрешности обработки, получить меру опре­деленности процесса и исходя из этого обо­снованно подойти к решению задач прогнози­рования, контроля и управления точностью технологического процесса. Показатель степе­ни нелинеиности дает возможность оценить погрешность аппроксимации при замене нели­нейного изменения центра настройки линей­ной зависимостью.

Технологический процесс можно назвать детерминированным (регулярным), если ка­ждому значению времени t отвечает одно вполне определенное значение показателя х качества изделия. Это обычная схема чисто функциональной зависимости между пере­менными, когда показатель качества х являет­ся некоторой функцией от времени, т. е. х = = f(t). Для детерминированного процесса можно точно предсказать значения показателя качества в данный или последующие моменты времени. Воздействуя на доминирующие фак­торы, вызывающие погрешность обработки, можно управлять точностью технологических процессов.

Для недетерминированного (нерегулярного) процесса показатель качества может прини­мать любые (априори неизвестно какие) значе­ния, и их невозможно предсказать по данным значениям t, от которых они зависят. В этом случае показатель качества определяется сово­купностью неконтролируемых факторов, и, следовательно, управление точностью техно­логического процесса невозможно.

Фактически реальные процессы не являют­ся полностью детерминированными или нере­гулярными, т. е. изменение показателя каче­ства изделия во времени можно рассматри­вать как случайный (стохастический) процесс. Поэтому важно оценить количественную сте­пень детерминированности технологического процесса.

В качестве показателя для количественной характеристики степени детерминированности технологического процесса примем величину, определяемую выражением (40):

KW

(47)

где а² {m_JC(t)} — дисперсия, вызванная измене­нием функции математического ожидания m_x(t); а² {х} — общая дисперсия погрешности обработки партии деталей. Для детерминиро­ванного процесса г² = 1, а для нерегулярного г² == 0. Действительно, согласно определению для детерминированного процесса имеет ме­сто точная функциональная зависимость по­грешности размеров от времени [т. е. о_х (t) = = 0], и, таким образом, а |х} = ст {m_x(t)}. Тог­да согласно (47) получим r_m = 1. Для нерегу­лярного процесса a {m_x(t)} =0 и, следователь­но, г_т = 0.

Рис. 9. Графики для определения критерия нели­нейности технологического процесса

Таким образом, показатель детерминиро­ванности может принимать значения от нуля до единицы (0 ^ r_m ^ 1). Чем ближе г_т к едини­це, тем выше степень детерминированности процесса.

Функция математического ожидания m_x(t), характеризующая смещение во времени цен­тра настройки технологического процесса, в общем случае является нелинейной. Однако в практических расчетах удобно аппроксими­ровать ее линейной зависимостью. При этом важно определить погрешность аппроксима­ции (рис. 9).

Центр настройки процесса изменяется по некоторой кривой m_x(t) (рис. 9, я). Естественно считать нелинейностью кривой ее среднее ква- дратическое отклонение от некоторой прямой m_x(t), для которой это отклонение будет на­именьшим. Тогда степень нелинейности сме­щения центра настройки

8² = M{[_m_x(t)-m_x{t)Y}. (48)

Преобразуя (48) и используя уравнение линии регрессии

~ т_х t - щ

---- 1------- = Pxr---- ,

запишем (48) в виде 5а² К(')}-

2p_xt —М {[m_x(t) - mj [it - mj} + a,

(49)

M{[m_x(t)-mJ [г-т,]} = К_х,= = P*r<W M{[t-m_t']²}=af.

Поэтому вместо (49) можно написать

5² = a²K(t)}-p^. (50)

Эту формулу можно представить геометри­чески, как показано на рис. 9,6; при замене не­линейного изменения центра настройки линей­ной зависимостью общая дисперсия погреш­ности размеров а² уменьшается на величину 5 ² и принимает значение^ равное а².

Корреляционный момент, входящий в (54). т т

tmx(t)dt-~jmx(t)dt. о (56)

М {(х-mx)(t-.mx)}= —

Подставляя (55) и (56) в (54) и учитывая х(0 = т0+ 2К°0

Разделив обе части (49) на а², получим по­казатель относительной степени нелинейности технологического процесса

получим коэффициент корреляции

_52_ (J2

(51)

= Г2 - р2, ■

т

где

dt-

(52)

ont

o{m_x(t)} г_т = ; Р^:

В некоторых случаях удобно рассматри­вать показатель относительной степени нели­нейности изменения центра настройки:

(53)

ДО)

Показатели v и 0 относительной степени нелинейности технологического процесса мо­гут принимать значения от нуля до единицы: O^v^ 1; 0^0^ 1.

Для линейного изменения центра настрой­ки согласно определению 5 = 0 и, следователь­но, г² — р². В этом случае, применяя (51) и (53), имеем V = 0, 0 = 0. Чем ближе v к единице, тем выше степень нелинейности технологического процесса.

1 -

В качестве примера определим степень не­линейности технологического процесса при из­менении центра настройки по степенному за­кону и постоянном рассеянии. В этом случае функции математического ожидания m_x(t) и среднего квадратического отклонения <J_x(t) описываются (45). Для условий данного при­мера вычислим величины г_т и р, характери­зующие степень нелинейности хода процесса. Величина г_т определена ранее [см. (46)]. Для нахождения показателя р воспользуемся (52)

(54)

Поскольку величина t распределена равно­мерно в интервале (0, Г), имеем

Т т

М{(х-т_х){1-щ)}

р = - dt},

или принимая во внимание, что 4 Цп

1+-

(п+1)²(п + 2)_ приходим к окончательному результату

(57)

4п\1

1 -

4пХ2т + (п+\)2(п + 2)

(58) (59)

Рис. 10. Зависимость показателя 02 степени не- Р-[4]) линейности Процесса от параметра и, характеризующего степенной закон изменения центра настройки

2]/зХ_ти(и + 2)^1/2

Р =

[4пХт + (и + 1 )² (и + 2)]^1/2 (2п + 1)

Подставляя вместо р и г² их значения из (57) и (46) в (51) и (53), получим показатели v² и 0² относительной степени нелинейности тех­нологического процесса:

3(и + 2)л' (2л + I)² .

(п- I)²

(2 п + I)²

По формуле (59) были выполнены расчеты, результаты которых представлены на рис. 10.

Щ

0Л

Рис. 11. График для определения периодичности подналадки гпод технологического процесса

Определение оптимального настроечного размера на обработку партии деталей. При

обработке партии деталей под влиянием си­стематических и случайных погрешностей про­исходит смещение уровня настройки m_x(t) и увеличение мгновенного поля рассеяния A_x(t) (рис. 11). Эти изменения могут привести к выходу размеров деталей за границы поля допуска. С целью восстановления первоначаль­но установленной требуемой точности процес­са следует проводить подналадку технологиче­ской системы. Время между подналадками можно определить несколькими способами.

Рассмотрим определение периодичности подналадки станков по методу предельных от­клонений, используемое в тех случаях, когда заданы аналитически или установлены экспе­риментальным путем виды функции смещения уровня настройки и изменения мгновенного рассеяния: х = т_х (г), А = А_х (t).

Так как мгновенное распределение разме­ров является почти всегда гауссовским, то А_х (t) = 3о_х (t). При реализации метода пре­дельных отклонений требуется, чтобы вид функций m_x(t) и A_x(t) практически был одина­ковым для всех партий деталей. Кроме того, предполагается, что для момента проведения подналадки задана вероятность выхода кон­тролируемого размера за верхнюю или ниж­нюю границы поля допуска q = 0,0027.

На основании рис. 11 верхняя и нижняя границы мгновенного поля рассеяния разме­ров деталей соответственно

Если функция x_B(t) принимает значение ^ х₀ + 5, то размеры деталей выходят за верх­нюю границу поля допуска. В случае, когда размеры деталей выходят за нижнюю границу поля допуска, функция x_H(t) принимает значе­ния меньше хо — Таким образом, момент под­наладки t_noд в общем случае равен меньшему из значений t_B и t_H: t_noA = min(t_B, t_H), где вели­чины t_H и t_B определяются из уравнений

x₀ + 5 = m_x(t_B) + Ax(t_B);

x₀-6 = m_x(t_H)-Ax(t_H).

Наладку станка следует выполнять таким образом, чтобы время £_Под было как можно большим, т. е. чтобы реже осуществлять подна­ладку технологического процесса.

mx(t)-

Рассмотрим случай, когда смещение уров­ня настройки описывается степенной функ­цией, а мгновенное рассеяние размеров остает­ся постоянным (рис. 12):

₎ + vt^l,n; A_x(t) = А₀ = const. (60)

Так как в данном случае центр рассеяния смещается к верхней границе поля допуска, то время работы станка без подналадки г_под определяется из уравнения

. (61)

Рис. 12. График для определения периодичности

подналадки tn

технологического процесса при из­

менении уровня настроики по степенному закону и постоянном мгновенном рассеянии: хв (t) = mQ +

+ vti/n + Д0; xH(r) = то + vt1

-До

х₀ + 5 = m₀ + vt\JSjy + Д₀»

откуда

-(х₀ + 5-т₀- А₀)

оптимальному начальному положению уровня настройки, при котором величина t будет наибольшей. По определению m₀₁ < т₀ ^ т₀₂, где

т₀₁ = х₀ - 5 + Д₀; т₀₂ = х₀ + 6 - Д₀. (62)

(63)

-t(m(

Непрерывная функция принимает наиболь­шее значение или в точках экстремума, или на концах интервала. Функция t(m₀) в (61) может иметь экстремум только в точке т₀ = т₀₂ и равняется в этой точке нулю. Значит она принимает наибольшее значение на другом конце промежутка, в точке т% = т_ох.

(5-Д₀

Аналогичным образом можно показать, что (63) будет справедливой и в случае, если уровень настройки смещается к нижней грани­це поля допуска.

Глава