Расчет первичных и волновых параметров симметричной кабельной сети
Перед выполнением расчетов первичных и волновых параметров важно уяснить, что они являются характеристиками процесса распространения электромагнитной энергии вдоль цепи. Электромагнитный процесс в пространстве, ограниченном металлическими проводниками, в общем случае зависит от трех пространственных координат, времени и от формы границ. Таким образом, при общем подходе к процессу распространения энергии вдоль цепи необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных от четырех переменных при заданных граничных условиях. Процессы волнового распространения электромагнитной энергии вдоль электрических цепей полностью определяются распределением магнитного и электрического полей, связанных с проводниками цепи (уравнениями Максвелла).
Удобство использования понятий первичных и волновых параметров при инженерных расчетах обусловлено тем, что упрощается описание волнового процесса распространения электромагнитной энергии с применением уравнений линии, поскольку в этом случае он будет функцией одной пространственной координаты, совпадающей с осью проводника. Электромагнитное поле в уравнениях линии явно не фигурирует. Вместо него для каждого поперечного сечения z данной линии передачи в каждый момент времени t вводят две величины – напряжение и ток . Для получения исходных соотношений, определяющих процессы в цепях с распределенными параметрами, используют так называемые первичные параметры цепи. Каждый однородных отрезок электрической цепи единичной длины характеризуется четырьмя параметрами – активным сопротивлением , индуктивность , емкостью , проводимостью изоляции , численные значения которых зависят от конфигурации электромагнитного поля, связанного с данной цепью. Физически эти параметры представляют те же свойства цепи, что и в цепи с сосредоточенными параметрами.
Первичными параметрами называются индуктивность и активное сопротивление проводов цепи, а также емкость и проводимость изоляции между проводами, отнесенные к единице длины линии – километру. Понятие первичных параметров применимо только для однородных цепей.
Индуктивность проводов , характеризует способность цепи накапливать энергию в магнитном поле , а также определяет соотношение между током в проводах цепи и сцепленным с ним магнитным потоком .
Активное сопротивление проводов , характеризует потерю энергии на тепло в проводах и активное падение напряжения на них .
Емкость , оценивает способность цепи накапливать энергию электрического поля и связывает заряды на проводах с напряжением между ними: .
Проводимость изоляции , между проводами цепи – величина обратная сопротивлению изоляции, определяет потерю энергии в диэлектрике, окружающем провода, и ток утечки линии .
Значения первичных параметров непосредственно связаны с конструкцией цепи, геометрическими размерами и электрическими характеристиками кабельных материалов, поэтому их удобно использовать при оптимизации конструкции кабельных цепей и теоретическом расчете зависимости затухания и коэффициента фазы цепи от частоты.
При решении таких инженерных задач, как определение дальности передачи, оценке искажений сигналов при их передаче, а также при эксплуатационных измерениях удобно воспользоваться волновыми (вторичными) параметрами цепей.
К волновым параметрам относится волновое сопротивление цепи и коэффициент распространения волны γ. Волновое сопротивление определяет отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в падающей (отраженной) волне в любом сечении, которое свойственно данной цепи и не зависит от ее длины. Коэффициент распространения волны характеризует логарифм отношения комплексных амплитуд напряжений (токов) в начале и в конце однородной цепи, нагруженной на волновое сопротивление. Первичные и волновые параметры цепи взаимосвязаны и обладают одинаковой полнотой, поэтому могут быть рассчитаны одни через другие, см., например, формулы (9-14).
Рекомендуемый порядок выполнения расчетов первичных и волновых параметров симметричной кабельной цепи:
1. Определить диаметр изолированной жилы и расстояние между центрами жил цепи при четверочной (звездной) скрутке по формулам:
, мм , (11.1)
, мм , (11.2)
где – диаметр изолированной жилы, мм;
– диаметр токопроводящей жилы, мм;
Δ – радиальная толщина изоляции, мм;
– расстояние между центрами жил цепи при четверочной скрутке, мм.
2. Определить сопротивление кабельной медной двухпроводной цепи постоянному току с учетом коэффициента укрутки по формуле:
, , (11.3)
где – удельное сопротивление медных жил;
– коэффициент укрутки, учитывающий удлинение кабельных жил при их скручивании.
3. Определить активное сопротивление кабельной цепи при переменном токе, используя формулу
, , (11.4)
где , и – значения бесселевых функций, учитывающих сопротивление за счет поверхностного эффекта, эффекта близости жил пары, значения которых берутся из табл.1 в зависимости от значения :
где – частота тока, Гц;
– расстояние между центрами жил, см. формулу (11.2);
– справочный коэффициент, учитывающий эффект близости с соседними жилами в группе, для четверочной скрутки = 5.
– дополнительное сопротивление за счет потерь энергии на вихревые токи в жилах соседних четверок и в металлической оболочке кабеля, рассчитывается по формуле:
, (11.5)
где – величина дополнительного сопротивления, берется из табл. 11.2.
Таблица 11.1
0.0 | 0.000 | 0.000 | 0.0417 | 1.000 | 4.9 5.0 | 1.007 1.043 | 0.736 0.735 | 0.524 0.530 | 0.567 0.556 |
0.1 | 0.000 | 2/64 | 0.0417 | 1.000 | 5.1 5.2 | 1.078 1.114 | 0.772 0.790 | 0.535 0.540 | 0.545 0.535 |
0.2 | 0.000 | 2/64 | 0.0417 | 1.000 | 5.3 5.4 | 1.149 1.184 | 0.808 0.826 | 0.545 0.550 | 0.525 0.516 |
0.3 | 0.000 | 2/64 | 0.0417 | 1.000 | 5.5 5.6 | 1.219 1.254 | 0.843 0.861 | 0.554 0.556 | 0.507 0.498 |
0.4 | 0.000 | 2/64 | 0.0417 | 1.000 | 5.7 5.8 | 1.289 1.324 | 0.879 0.896 | 0.562 0.566 | 0.489 0.481 |
0.5 | 0.000 | 0.001 | 0.042 | 1.000 | 5.9 | 1.359 | 0.914 | 0.571 | 0.473 |
0.6 | 0.001 | 0.002 | 0.042 | 1.000 | 6.0 | 1.394 | 0.932 | 0.575 | 0.465 |
0.7 | 0.001 | 0.004 | 0.045 | 0.999 | 6.1 | 1.429 | 0.959 | 0.579 | 0.458 |
0.8 | 0.002 | 0.006 | 0.046 | 0.999 | 6.2 | 1.463 | 0.967 | 0.582 | 0.451 |
0.9 | 0.003 | 0.010 | 0.049 | 0.998 | 6.3 | 1.498 | 0.985 | 0.586 | 0.443 |
1.0 | 0.005 | 0.015 | 0.053 | 0.997 | 6.4 | 1.553 | 1.003 | 0.590 | 0.436 |
1.1 | 0.008 | 0.022 | 0.058 | 0.996 | 6.5 | 1.568 | 1.020 | 0.593 | 0.430 |
1.2 | 0.011 | 0.031 | 0.064 | 0.995 | 6.6 | 1.603 | 1.038 | 0.596 | 0.424 |
1.3 | 0.015 | 0.041 | 0.072 | 0.993 | 6.7 | 1.638 | 1.055 | 0.599 | 0.418 |
1.4 | 0.020 | 0.054 | 0.080 | 0.990 | 6.8 | 1.673 | 1.073 | 0.602 | 0.412 |
1.5 | 0.026 | 0.069 | 0.092 | 0.987 | 6.9 | 1.708 | 1.091 | 0.605 | 0.406 |
1.6 | 0.033 | 0.086 | 0.106 | 0.983 | 7.0 | 1.743 | 1.109 | 0.608 | 0.400 |
1.7 | 0.042 | 0.106 | 0.122 | 0.979 | 7.1 | 1.778 | 1.126 | 0.611 | 0.394 |
1.8 | 0.052 | 0.127 | 0.137 | 0.974 | 7.2 | 1.813 | 1.144 | 0.614 | 0.389 |
1.9 | 0.064 | 0.148 | 0.154 | 0.968 | 7.3 | 1.848 | 1.162 | 0.617 | 0.384 |
2.0 | 0.078 | 0.172 | 0.169 | 0.961 | 7.4 | 1.884 | 1.180 | 0.620 | 0.379 |
2.1 | 0.094 | 0.196 | 0.187 | 0.953 | 7.5 | 1.919 | 1.198 | 0.622 | 6.374 |
2.2 | 0.111 | 0.221 | 0.206 | 0.945 | 7.6 | 1.954 | 1.216 | 0.624 | 0.369 |
2.3 | 0.131 | 0.246 | 0.224 | 0.935 | 7.7 | 1.989 | 1.233 | 0.627 | 0.364 |
2.4 | 0.152 | 0.271 | 0.242 | 0.925 | 7.8 | 2.024 | 1.251 | 0.630 | 0.360 |
2.5 | 0.175 | 0.295 | 0.263 | 0.913 | 7.9 | 2.059 | 1.269 | 0.632 | 0.355 |
2.6 | 0.201 | 0.318 | 0.280 | 0.901 | 8.0 | 2.094 | 1.287 | 1.634 | 0.351 |
2.7 | 0.208 | 0.341 | 0.298 | 0.888 | 8.1 | 2.129 | 1.304 | 0.637 | 0.347 |
2.8 | 0.256 | 0.363 | 0.316 | 0.874 | 8.2 | 2.165 | 1.322 | 0.640 | 0.343 |
2.9 | 0.286 | 0.384 | 0.333 | 0.860 | 8.3 | 2.200 | 1.339 | 0.642 | 0.339 |
3.0 | 0.318 | 0.405 | 0.348 | 0.845 | 8.4 | 2.235 | 1.357 | 0.644 | 0.335 |
3.1 | 0.351 | 0.425 | 0.362 | 0.830 | 8.5 | 2.270 | 1.357 | 0.646 | 0.331 |
3.2 | 0.385 | 0.444 | 0.376 | 0.814 | 8.6 | 2.306 | 1.393 | 0.647 | 0.327 |
3.3 | 0.420 | 0.463 | 0.388 | 0.798 | 8.7 | 2.347 | 1.410 | 0.649 | 0.323 |
3.4 | 0.456 | 0.481 | 0.400 | 0.782 | 8.8 | 2.376 | 1.428 | 0.651 | 0.320 |
3.5 | 0.492 | 0.499 | 0.410 | 0.766 | 8.9 | 2.411 | 1.446 | 0.653 | 0.316 |
3.6 | 0.529 | 0.516 | 0.420 | 0.743 | 9.0 | 2.446 | 1.464 | 0.655 | 0.313 |
3.7 | 0.566 | 0.533 | 0.430 | 0.733 | 9.1 | 2.461 | 1.481 | 0.657 | 0.309 |
3.8 | 0.603 | 0.550 | 0.440 | 0.717 | 9.2 | 2.517 | 1.499 | 0.658 | 0.306 |
3.9 | 0.640 | 0.567 | 0.450 | 0.702 | 9.3 | 2.552 | 1.516 | 0.660 | 0.302 |
4.0 | 0.678 | 0.584 | 0.460 | 0.688 | 9.4 | 2.587 | 1.534 | 0.662 | 0.299 |
4.1 | 0.715 | 0.601 | 0.466 | 0.671 | 9.5 | 2.622 | 1.552 | 0.664 | 0.296 |
4.2 | 0.752 | 0.618 | 0.474 | 0.657 | 9.6 | 2.658 | 1.570 | 0.666 | 0.293 |
4.3 | 0.789 | 0.635 | 0.484 | 0.643 | 9.7 | 2.693 | 1.587 | 0.667 | 0.290 |
4.4 | 0.826 | 0.652 | 0.490 | 0.629 | 9.8 | 2.728 | 1.605 | 0.668 | 0.287 |
4.5 | 0.863 | 0.669 | 0.497 | 0.616 | 9.9 | 2.763 | 1.623 | 0.669 | 0.284 |
4.6 | 0.899 | 0.686 | 0.505 | 0.603 | >10 | 0.750 | |||
4.7 | 0.935 | 0.703 | 0.510 | 0.590 | |||||
4.8 | 0.971 | 0.720 | 0.516 | 0.579 |
Таблица 11.2
Число четверок в кабеле по повивам | , , вызываемое | |||||||
соседними четверками в повивах | алюминиевой оболочкой в повивах | |||||||
I | II | III | I | II | III | I | II | III |
- | - | - | - | 8.1 | - | - | ||
- | 7.5 | - | 0.6 | - |
4. Определить индуктивность L двухпроводной кабельной цепи по формуле
, (11.6)
где – значение бесселевой функции, учитывающей уменьшение внутренней индуктивности цепи, значение которой берется из табл.11.1 в зависимости от аргумента x.
– относительная магнитная проницаемость (для меди μr=1);
– см. выше.
5. Определить емкость двухпроводной кабельной цепи по формуле:
, (11.7)
где – результирующая диэлектрическая проницаемость изоляции;
– коэффициент, учитывающий увеличение емкости за счет близко расположенных соседних жил кабеля и его металлической оболочки, берется из табл.11.3.
Таблица 11.3
Значение | Значение | ||
1,6 1,8 2,2 | 0,588 0,611 0,619 0,630 | 2,4 2,6 2,8 больше 2,8 | 0,637 0,644 0,648 0,650 |
6. Определить модуль изоляции G кабельной цепи по формуле
, (11.8)
где - круговая частота тока при расчетных условиях;
– см. формулу (11.7);
– результирующий тангенс угла диэлектрических потерь для различных видов изоляции приведен в табл.11.4.
Таблица 11.4
Изоляция | при частотах | ||||
10 кГц | 100 кГц | 250 кГц | 500 кГц | ||
Воздушно-бумажная | 1,5-1,6 | - | - | - | - |
Из бумажной массы | 1,6-1,7 | - | - | - | - |
Кордельно-бумажная | 1,3-1,4 | ||||
Кордельно-стирофлексная | 1,2-1,3 | ||||
Полиэтиленовая сплошная пористая баллонная | 1,9-2,1 1,4-1,5 1,2-1,3 | ||||
Поливинилхлоридная сплошная | 4-6 | 130-150 | 120-140 | - | - |
7. Определить модуль волнового сопротивления кабельной цепи по формуле
, Ом (11.9)
Для частот кГц
, Ом (11.10)
8. Определить коэффициент затухания и фазы по формуле
, (11.11)
где километрический коэффициент затухания, Нп/км;
километрический коэффициен фазы, рад/км.
В области высоких частот кГц можно использовать более простые формулы
- для расчета коэффициента затухания, дБ/км
, дБ/км (11.12)
- для расчета коэффициента фазы
, рад/км (11.13)
9. Определить фазовую скорость распространения сигнала по формуле
, км/с (11.14)
и время распространения сигнала на длине 1 км цепи
Т = , с/км (11.15)