Оценка достоверности средней разности

Часто оценка различий между средними производится для выборок, в которых отдельные значения признака попарно связаны друг с другом. Например, повторности полевого опыта, продуктивность животных и их потомства, произво­дительность труда в производственных коллективах до внед­рения новой системы оплаты труда и после ее внедрения и т. п. Такие выборки называют зависимыми.

В отличие от независимых выборок в зависимых произ­водят оценку достоверности не разности средних величин, а средней разности признаков. Для этого находят разности между попарно связанными величинами выборок d, которые образуют новую выборочную статистическую совокупность.

Относительно полученной совокупности выдвигают гипо­тезу, что средняя разность между величинами выборок рав­на 0, то есть различия между выборками носят случайный характер.

В этом случае фактическое нормированное отклонение оп­ределяют как отношение средней разности признаков к сред­ней ошибке разности средних:

,

где - средняя разность;

- средняя ошибка средней разности.

Табличное нормированное отклонение определяют исходя из принятого уровня значимости и числа степеней свободы вариации .

Предельную ошибку средней разности определяют по формуле:

.

Нулевая гипотеза будет опровергнута, если фактическое значение нормированного отклонения будет выше табличного, и наоборот, если ниже, то гипотеза принимается. К тем же выводам приходят при сравнении средней разности и пре­дельной ошибки средней разности.

Рассмотрим методику оценки достоверности средней раз­ности.

Пример.Было определено содержание жира в молоке ко­ров и их матерей (табл. 5.3).

Т а б л и ц а 5.3

Содержание жира в молоке

№ пар	Содержание жира в молоке	Разности	Квадраты разностей
коров-дочерей	коров-матерей
	3,4 3,8 3,4 3,7 3,7 3,7 3,3 3,5 4,0 4,3	3,2 3,5 3,6 3,6 3,4 3,3 3,2 3,4 4,1 3,7	0,2 0,3 -0,2 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1 -0,1 0,6	0,04 0,09 0,04 0,01 0,09 0,16 0,01 0,01 0,01 0,36
Итого

Требуется определить существенность различий между со­держанием жира в молоке коров и их матерей при уровне вероятности суждения 0,99.

Так как содержание жира в молоке дочерей и матерей зависимы между собой, то оценке подвергается средняя раз­ность.

Среднее содержание жира в молоке:

коров-дочерей:

%;

коров-матерей:

%.

Средняя разность:

%.

Проверим гипотезу о существенности средней разности содержания жира в молоке коров-дочерей и коров-матерей.

Дисперсия средней разности:

.

Отсюда средняя ошибка средней разности:

%.

Фактическое значение нормированного отклонения:

.

Табличное нормированное отклонение при уровне значи­мости 0,01 и степенях свободы вариации в соответствии с данными таблицы значений t-критерия Стьюдента составляет 3,2498.

Фактическое значение нормированного отклонения t_факт = 2,42 меньше табличного t_табл = 3,2498, следовательно, гипо­теза о существенности средней разности содержания жира в молоке коров-дочерей и коров-матерей не подтверждается. Различия носят случайный характер. Можно с вероятностью 0,99 утверждать, что содержание жира в молоке коров-доче­рей зависит от содержания жира в молоке коров-матерей.

Это подтверждает и предельная ошибка средней разности, которая равна:

%.

Фактическая средняя разность меньше предель­ной ошибки , то есть находится внутри границ слу­чайных колебаний.

Технология решения задачи втабличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1.Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.5.

Р и с. 5.5

2. Рассчитайте фактическое и табличное значения нормированного отклонения.

2.1. Выполните командуСервис,Анализ данных, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

2.2. В диалоговом окне Анализ данных с помощью левой кнопки мыши установите: Инструменты анализа ® <Парный двухвыборочный t-тест для средних > (рис. 5.6).

Р и с. 5.6

2.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.4. На вкладке Парный двухвыборочный t-тест для средних установите параметры в соответствии с рис. 5.7.

Р и с. 5.7

2.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.8).

Р и с. 5.8

Пояснения к названию отдельных показателей на рис. 5.8 приведены в табл. 5.2.

3. Критерий c² как критерий согласия

Критерий c² как критерий согласия используют при про­верке принадлежности эмпирического распределения к тео­ретическому, например, к нормальному, биноминальному, распределению Пуассона и т. п.

В этом случае значение критерия c² определяют, исходя из частот (f) эмпирического распределения и частот (f_o) теоретического распределения:

.

При этом возможны случаи, когда теоретические частоты заранее известны и когда неизвестны. Во втором случае тео­ретические частоты определяют на основе теоретического распределения исходя из численности выборки.

При проверке гипотезы о соответствии эмпирического рас­пределения теоретическому сравнивают фактическое значе­ние критерия с табличным . Если меньше , следовательно, эмпирическое распределение соответст­вует теоретическому. В противном случае эмпирическое рас­пределение не соответствует теоретическому, распределение частот в нем носит другой характер.

Рассмотрим методику применения критерия c² как крите­рия согласия.

Пример 1.В результате учета яйценоскости 50 кур-несушек, содер­жащихся на птицеферме, был построен интервальный вариационный ряд (табл. 5.4). Средняя арифметическая ряда равна 228,8, а выборочное среднее квадратическое отклонение – 7,95.

Т а б л и ц а 5.4

Распределение поголовья

№ п/п	Группа кур-несушек по величине яйценоскости	Фактическое распределение поголовья (эмпирические частоты)	Середина интервала	Нормированное отклонение	Плотность нормального распределения	Теоретическое распределение поголовья (теоретические частоты)	Взвешенные квадраты разностей
xmin	xmax	f
				214,5	-1,8214	0,0096	2,39	2,86
				219,5	-1,1924	0,0246	6,16	0,11
				224,5	-0,5635	0,0428	10,70	0,27
				229,5	0,0654	0,0501	12,52	0,18
				234,5	0,6943	0,0394	9,86	1,51
				239,5	1,3233	0,0209	5,23	1,47
				244,5	1,9522	0,0075	1,87	0,40
Итого		х	х	х	48,72	c2 = 6,80

Требуется установить соответствие данного распределения нормальному с уровнем вероятности 0,95.

Проверка гипотезы о соответствии теоретическому распределению предполагает расчет теоретических частот этого распределения.

Для нормального распределения порядок расчета этих частот следующий:

1) по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение s;

2) находят нормированное отклонение t каждого эмпирического значения от средней арифметической:

;

3) по формуле или с помощью таблиц интеграла вероятностей Лапласа находят значение плотности нормального распределения φ(t):

,

где s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

π = 3,141593 – постоянное число (отношение длины окружности к ее диаметру);

e = 2,718282 – основание натурального логарифма;

4) вычисляют теоретические частоты f₀ по формуле:

,

где n − число вариант (сумма частот);

h – величина интервала.

Фактическое значение критерия равно 6,8. Табличное значение критерия при заданном уровне значимости и сте­пенях свободы вариации равно 12,592 (таблица «Значение χ² при уровне значимости 0,10, 0,05 и 0,01»).

Поскольку фактическое значение критерия меньше таб­личного, то нулевая гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому принимается. Распределение яйценоскости кур-несушек соответствует нормальному распределению.

Технология решения задачи втабличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1.Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.9.

Р и с. 5.9

2. Рассчитайте плотность нормального распределения поголовья.

2.1. Выделите ячейку F3.

2.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните командуВставка,f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

2.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <НОРМРАСП> (рис. 5.10).

Р и с. 5.10

2.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.5. На вкладке НОРМРАСП установите параметры в соответствии с рис. 5.11.

Р и с. 5.11

2.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

2.7. Скопируйте ячейку F3 в ячейки F4:F9.

3. Рассчитайте теоретическое распределение поголовья.

3.1. Введите в ячейку G3 формулу =$D$10*(C3-B3)*F3.

3.2. Скопируйте ячейку G3 в ячейки G4:G9.

3.3. Выделите ячейку G10.

3.4. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на букве S кнопки <Автосумма > .

3.5. Выделите ячейки G3:G9.

3.6. Нажмите клавишу <Enter>.

4. Рассчитайте степени свободы вариации. Введите в ячейку Е15 формулу =(2-1)*(A9-1).

5. Рассчитайте фактический уровень значимости.

5.1. Выделите ячейку Е16.

5.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните командуВставка,f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

5.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ТЕСТ> (рис. 5.12).

Р и с. 5.12

5.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5.5. На вкладке ХИ2ТЕСТ установите параметры в соответствии с рис. 5.13.

Р и с. 5.13

5.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

6. Рассчитайте фактическое значение критерия .

6.1. Выделите ячейку Е17.

6.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните командуВставка,f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

6.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ОБР> (рис. 5.14).

Р и с. 5.14

6.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

6.5. На вкладке ХИ2ОБР установите параметры в соответствии с рис. 5.15.

Р и с. 5.15

6.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

7. Определите табличное значение критерия , используя статистическую функцию ХИ2ОБР. Для этого вставьте в ячейку Е18 функцию =ХИ2ОБР(E14;E15). Порядок вставки изложен в пункте 6.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.16).

Р и с. 5.16

8. Постройте полигон фактического и теоретического распределения поголовья по яйценоскости.

8.1. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Мастер диаграмм > .

8.2. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4) с помощью левой кнопки мыши установите: Стандартные ® <График> (рис. 5.16).

Р и с . 5.16

8.3. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.4. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4) установите параметры в соответствии с рис. 5.17.

Р и с. 5.17

8.5. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.6. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 3 из 4) введите названия диаграммы и ос Y (рис. 5.18).

Р и с. 5.18

8.7. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Далее>.

8.8. В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 4 из 4) установите параметры в соответствии с рис. 5.19.

Р и с. 5.19

8.9. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <Готово>.

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.20).

Р и с. 5.20

9. Вставьте на графике подписи данных.

9.1. Щелкните правой кнопкой мыши на диаграмме и на появившейся вкладке нажмите кнопку <Исходные данные>.

9.2. В диалоговом окне Исходные данные измените подписи оси Х. Для этого выделите ячейки Е64:Е70 (рис. 5.21).

Р и с. 5.21

9.3. Нажмите клавишу <Enter>.

Результаты выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.22).

Р и с. 5.22

Пример 2.При скрещивании черных комолых быков с красными рогатыми коровами во втором поколении было получено 97 черных комолых, 25 черных рогатых, 26 красных комолых и 12 красных рогатых потомков. Необходимо уста­новить соответствие данного расщепления расщеплению по закону Менделя 9 : 3 : 3 : 1 с уровнем вероятности 0,99.

Теоретическое расщепление определим в со­ответствии с соотношением 9 : 3 : 3 : 1 и общим поголовьем потомков в выборочной совокупности (табл. 5.5).

Т а б л и ц а 5.5

Распределение поголовья

Вид потомка	Фактическое распределение поголовья	Теоретическое распределение (9 : 3 : 3 : 1)	Взвешенные квадраты разностей
расщепление	поголовье, гол.
f
Черный комолый Черный рогатый Красный комолый Красный рогатый		9/16 3/16 3/16 1/16		0,5444 0,8333 0,8333 0,4000
Итого		16/16		c2 = 2,3111

Фактическое значение критерия равно 2,3111. Табличное значение критерия при заданном уровне значимости и сте­пенях свободы вариации равно 11,344 (таблица «Значение χ² при уровне значимости 0,10, 0,05 и 0,01»).

Поскольку фактическое значение критерия меньше таб­личного, то нулевая гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому принимается. Расщепление соответствует закону Менделя.

Технология решения задачи втабличном процессоре Microsoft Excel следующая.

1.Введите исходные данные в соответствии с рис. 5.23.

Р и с. 5.23

2. Рассчитайте общее поголовье и их теоретическое распределение.

2.1. Выделите ячейку В7.

2.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на букве S кнопки <Автосумма > .

2.3. Выделите ячейки В3:В6.

2.4. Нажмите клавишу <Enter>.

2.5. Скопируйте ячейку В7 в ячейки С7:D7.

2.6. Введите в ячейку D3 формулу =$B$7*C3/$C$7.

2.7. Скопируйте ячейку D3 в ячейки D4:D6.

3. Рассчитайте степени свободы вариации. Введите в ячейку D11 формулу =(2-1)*(4-1).

4. Рассчитайте фактический уровень значимости.

4.1. Выделите ячейку D12.

4.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните командуВставка,f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

4.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ТЕСТ> (рис. 5.24).

Р и с. 5.24

4.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

4.5. На вкладке ХИ2ТЕСТ установите параметры в соответствии с рис. 5.25.

Р и с. 5.25

4.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5. Рассчитайте фактическое значение критерия .

5.1. Выделите ячейку D13.

5.2. Щелкните левой кнопкой мыши на панели инструментов на кнопке <Вставка функции> или выполните командуВставка,f_x Функция, щелкнув поочередно левой кнопкой мыши.

5.3. В диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 с помощью левой кнопки мыши установите: Категория ® <Статистические>, Выберете функцию ® <ХИ2ОБР> (рис. 5.26).

Р и с. 5.26

5.4. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

5.5. На вкладке ХИ2ОБР установите параметры в соответствии с рис. 5.27.

Р и с. 5.27

5.6. Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке <ОК>.

6. Определите табличное значение критерия , используя статистическую функцию ХИ2ОБР. Для этого вставьте в ячейку D11 функцию =ХИ2ОБР(D10;D11). Порядок вставки изложен в пункте 5.

Результаты решения выводятся на экран дисплея в следующем виде (рис. 5.28).

Р и с. 5.28

4. Критерий c² как критерий независимости

Критерий c² как критерий независимости используют в тех случаях, когда теоретическое распределение неизвестно, и требуется проверить гипотезу о независимости двух выбо­рок, представленных распределением численностей. Напри­мер, при сравнении данных полевого опыта.

В этом случае теоретические численности по группам оп­ределяют на основе общего процента распределения числен­ности по подгруппам, который распространяется на группы:

,

где − теоретические частоты;

− фактические частоты;

n − число вариант (сумма частот);

i − номер группы;

k − число групп;

j − номер подгруппы;

l − число подгрупп.

Критерий рассчитывают на основе полученных тео­ретических и фактических частот. Если фактическое значение критерия выше табличного, гипотеза о независимости рас­сматриваемых признаков отвергается, то есть различия меж­ду ними носят систематический, неслучайный характер. Если фактическое значение критерия ниже табличного, гипотеза о независимости признаков принимается, различия между ни­ми носят случайный характер

Рассмотрим методику применения критерия c² как крите­рия независимости.

Пример.В стаде, состоящем из 170 коров, был высокий процент абортов. Для проверки препаратов против абортирования поставлен опыт на 50 коровах, остальные 120 коров были контрольными. Распределение численности коров пред­ставлено в табл. 5.6.

Т а б л и ц а 5.6