Особенности расчета валов с несколькими массами. Понятие о точном методе расчета критических скоростей. Приближенные методы.

Если вал представляет собой многомассовую систему, состоящую, например, из nсосредоточенных масс, то он имеет n собственных угловых скоростей (частот) и, в простейшем случае, n критических скоростей.

Следовательно, задачаопределения критической скорости вала, нагруженного несколькими сосредоточенными массами, сводится к определению частот его собственных колебаний. Если сосредоточенных масс более двух, то точное решение такой задачи очень сложно.

В практических случаях часто приходится сталкиваться с необходимостью определения частоты собственных колебаний систем, имеющих несколько степеней свободы.

Представим балку, находящуюся под действием нескольких сил P₁; P_2; P₃ … при

Рисунок 9.10 – Схема балки под действием нескольких сил

Перемещение при деформации балки в месте приложения и по направлению действия каждой из этих сил обозначим y₁; y₂; y_i; y_k.

Пусть – единичный прогиб в направлении действия силы P_i от силы . По теореме взаимности перемещений

, (9.30)Где – единичный прогиб в направлении действия силы P_kот .

Рисунок 9.11 – Схема единичного прогиба балки

Из курса сопротивления материалов известно, что прогиб можно выразить как функцию сил ; ; ;… . При этом под действием нагрузки только P_k точка i прогнётся на (рисунок 9.10). Следовательно, в общем случае под действием всех сил точка i прогнётся на

. (9.31)

По аналогии прогибы в направлении действия сил ; ; ;… от всех сил, приложенных одновременно, можно выразить следующим образом

(9.32)

Точный метод определения критических частот вала.

Рассмотрим вал с двумя дисками при . Пусть m₁ и m₂ - массы дисков; е₁ и e₂ - эксцентриситеты их центров относительно оси вала; y₁ и y₂ – упругие прогибы при рабочей скорости (рисунок 9.12, схема б).

Рисунок 9.12 – Схема прогиба вала с двумя грузами

при (схема а) и (схема б)

При вращении на вал действуют центробежные силы

; (9.33)

. (9.34)

В соответствии с (9.32) можно записать

(9.35)

Подставим значение сил в (9.35)

(9.36)

Раскроем скобки и систему уравнений (9.36) перепишем следующим образом:

(9.37)

Сгруппируем и введем обозначение членов уравнения и

(9.38)

Полученные уравнения представляют систему из двух неоднородных уравнений с двумя неизвестными. Эти уравнения удобно решить с помощью определителей. Каждое решение может быть представлено в виде дроби, знаменателем которой является определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель – тот же определитель, в котором коэффициенты при искомом неизвестном заменены свободными членами A₁ и A₂ , то есть ;

. (9.40)

Как было сказано ранее резонанс наступает тогда, когда прогибы стремятся к бесконечности, то есть . Это происходит в том случае, когда определитель, стоящий в знаменателе равен нулю, то есть

. (9.41)

Раскроем определитель

. (9.42)

Полагая и, выразив составляющие при и U в виде коэффициентов а и b, получим следующее квадратное уравнение

, (9.43)

, (9.44)

Решение этого квадратного уравнения имеет вид

, (9.45)

При критические скорости равны:

(9.46)

При решение не имеет смысла.

Когда число масс, то есть число степеней свободы 4 и больше, то решить систему уравнений без ЭВМ невозможно ( – коэффициенты влияния.Они определяются любым методом – графическим, по правилу Верещагина и т.д.)

Приближенные методы определения критической угловой скорости вала с несколькими сосредоточенными массами

На практике обычно в таких случаях используются приближенные методы расчета критических угловых скоростей , которые считаются простыми дающими в то же время достаточно точные результаты. По этим методам определяют первую (низшую, наименьшую, основную) критическую угловую скорость. При этом для жесткого вала рекомендуют, чтобы не превышала 0,75 – 0,80 его минимальной критической скорости , а для гибкого – не совпадала ни с одной из других критических скоростей и была в 1,3 – 1,4 раза больше ближайшей большей критической скорости, то есть условие виброустойчивости имеет вид:

(8)

Валы быстроходных машин обычно проектируются как жесткие, реже применяются гибкие валы, работающие между первой и второй критическими скоростями Рисунок 10.

Метод Донкерли

В методе Донкерли используется принцип независимости воздействия отдельных масс на колебания вала (принцип суперпозиции). Формула Донкерли, по которой определяется наименьшее возможное значение основной частоты , может быть представлена в следующем виде:

, (9)

где – критическая угловая скорость вала, когда он нагружен только одним грузом массой m_i;

– статический прогиб вала под массой m_i, когда он нагружен только этой массой (рисунок 11);

i – число масс на валу.

Метод Донкерли дает заниженное значение . Однако во многих случаях практики достаточно констатировать, что критическая частота вала не ниже определенного предела, чтобы сделать излишним более точное решение.

Рисунок 11 – Расчетная схема и первая (низшая) критическая скорость вала, нагруженного тремя сосредоточенными массами, определяемая по методу Донкерли.

по таблице для однопролетного и консольного валов на неподатливых подшипниках представлены значения коэффициентов , подстановка которых в формулу (10) позволит определить , а, следовательно, и проверить условие виброустойчивости (8).

Энергетический метод Релея

В основе энергетического метода лежит принцип постоянства энергии, согласно которому максимальная потенциальная энергия деформации при вращении вала равна максимальной кинетической энергии системы , то есть .

После раскрытия данного равенства получено одно из выражений для расчета нижней критической частоты

, (11)

где – статический прогиб вала под грузом массой , нагруженного всеми нагрузками (рисунок 12).

(12)

Рисунок 12- Расчетная схема и первая (низшая) критическая скорость вала, нагруженного тремя сосредоточенными массами (метод Релея).

Критическая частота, получаемая по методу Релея, всегда выше действительной частоты ( т.е частоты, найденной точным методом).. Действительная частота находится между частотой, определенной по формуле Донкерли и частотой, найденной по методу Релея , то есть:

. (13)

Рассмотренные выше методы определения первой критической скорости вращения валов, в которых прогибы рассчитываются аналитически, просты и удобны в случае валов постоянного сечения и с небольшим числом нагрузок.

При расчете балок переменного сечения со многими сосредоточенными массами может быть определена этими же методами, то есть по формулам (11) и (12), но в которых прогибы находятся графо-аналитически.

Методы в этом случае называются графо-аналитическими.

В литературе приводится еще ряд методов для расчета валов переменного сечения. В практике химического машиностроения получил распространение так называемый метод приведения, основанный на исследованиях академика Ю. А. Шиманского /4/, который является достаточно простым, точным и универсальным, так как может быть применен как при расчете валов переменного, так и постоянного сечения, с одной или несколькими сосредоточенными массами, с учетом или без учета массы вала.