Математические модели надежности

Для решения задач по оценке надежности и прогнозированию работоспособности объекта необходимо иметь математическую модель, которая представлена аналитическими выражениями одного из показателей: P(t) или f(f) или l(t). Основной путь для получения модели состоит в проведении испытаний, вычислении статистических оценок и их аппроксимации аналитическими функциями.

Опыт эксплуатации показывает, что изменение ИО l(t) подавляющего большинства объектов описывается U - образной кривой (рис. 1..8.)

Рис. 1.8. Кривая изменения интенсивности отказа объектов

Эту кривую можно условно разделить на три характерных участка: первый - период приработки объекта, второй - нормальная эксплуатация, третий - старение.

Характерным примером обеспечения надежности и безопасности с анализом и учетом их при эксплуатации является зависимость уровня надежности и безопасности в зависимости от времени эксплуатации зданий и сооружений.

Особенно это относится к прогнозированию деформаций обычных зданий во времени (Рис. 1.9.), что приводит к недопустимым деформациям, особенно в конце срока эксплуатации.

Рис. 1.9. Зависимость уровня надежности от

продолжительности эксплуатации сооружений

t_прир - период приработки; t_{норм. экспл.} - граница нормируемой безопасно­сти; t_ур - зона повышенного уровня риска; R - показатель риска; R_нор - вели­чина нормативного риска;

R_уnp - зона управления риском; R_авар – математическая сумма

Здесь уместно отметить, что в зависимости от сложности условий, проектирование необходимо вести по принципу необходимости и достаточности.

Например, расчет сооружений по надежности является достаточным в условиях, когда все воздействия и проявления окружающей среды прогнозируемы и нечеткость исходной информации не высокая.

Рассмотрим основные законы распределения (модели надежности) невосстанавливаемых и восстанавливаемых объектов.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение описывает наработку на отказ тех объектов, у которых в результате сдаточных испытаний (выходного контроля) отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации. Эти объекты можно отнести к "не стареющим", поскольку они работают только на участке с l(t) = l = const (рис 1.8., 1.9.)Круг таких объектов широк: сложные технические системы со множеством компонентов, средства ВП, и регулирования и т.п.

Экспоненциальное распределение широко применяется для оценки надежности энергетических объектов.

Графики изменения показателей надежности при экспоненциальном распределении приведены на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Графики изменения показателей надежности

при экспоненциальном распределении

Нормальное распределение

Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что наработка объекта подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если ПРО описывается выражением:

(1.13)

где а и b - параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются: , где и - оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей надежности при нормальном распределении приведены на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Графики изменения показателей надежности

при нормальном распределении