Вероятность безотказной работы (ВБР)

И вероятность отказа (ВО)

Статистическое определение ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется по формуле:

(1.1)

т.е. ВБР есть отношение числа объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t=0), т.е. к общему числу объектов N. ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки t.

Поскольку N(t)= N- n(t), то ВБР можно определить как

(1.2)

где - вероятность отказа (ВО). В статистическом определении ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов.

Так как события, заключающиеся в наступлении или ненаступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то

(1.3)

Нетрудно убедиться, что ВБР является убывающей, а ВО - возрастающей функцией наработки. Справедливо следующее:

1. В момент начала испытаний при t=0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t)=N(0)=N, а число объектов отказавших равно n(t)=n(0)=0. Поэтому

, а ;

2. При наработке t® ¥ все объекты, поставленные на испытания, откажут, т.е. N(¥)=0, a n(¥)=N. Поэтому, , a .

Вероятностное определение ВБР описывается формулой

P(t)=P{T³ t}, (1.4)

т.е. ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа Т окажется больше некоторой заданной наработки t.

Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины Т и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Q(t)=P{T<t}. (1.5)

Графики ВБР и ВО приведены на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Графики вероятности безотказной работы и вероятности отказов

Плотность распределения отказов (ПРО)

Статистическое определение ПРО:

[ед. наработки^-1] , (1.6)

т.е. ПРО есть отношение числа объектов, отказавших в интервале наработки [t, t+ Dt] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки Dt.

Поскольку Dn (t, t + Dt) = n(t + Dt) - n(t), где n(t + Dt) – число объектов, отказавших к моменту наработки t+ Dt, то ПРО можно представить:

, (1.7)

где (t, t + Dt) - оценка ВО в интервале наработки, т.е. приращения ВО за Dt.

ПРО по смыслу представляет частоту отказов, т.е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.

Вероятностное определение ПРО следует из (1.7) при стремлении интервала наработки D t® 0 и N® ¥

. (1.8)

ПРО по существу является плотностью распределения случайной величины Т наработки до отказа объекта. Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 1.5.

Интенсивность отказов (ИО)

Статистическое определение ИО описывается формулой

[ед. наработки^-1] (1.9)

т.е. ИО есть отношение числа объектов, отказавших в интервале наработки [t, t+Dt] к произведению числа исправных объектов на момент К на длительность интервала Dt.

Рис. 1.5. График плотности распределения отказов

Сравнивая (1.6) и (1.9), можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т.к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t.

Вероятностное определение ИО получим, умножив и поделив правую часть выражения (2.9) на N

С учетом (2/7), можно представить

Откуда при стремлении Dt® 0 и N® ¥ получаем:

(1.10)

Возможные виды графиков l(t) приведены на рис. 1.6.

Рис. 1.6.

Средняя наработка до отказа

Рассмотренные выше показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и l(t) полностью описывают случайную величину T={t}. В тоже время для решения ряда практических задач бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа.

Статистическое определение средней наработки до отказа

(1.11)

где t_i - наработка до отказа 1-го объекта.

При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины Т, и поэтому, как всякое МО, определяется:

(1.12)

Очевидно, что с увеличением выборки испытаний (N ® ¥ ) средняя арифметическая наработка (оценка ) сходится по вероятности с МО наработки до отказа.

В то же время средняя наработка не может полностью характеризовать безотказность объекта. Так при равных средних наработках до отказа Т₀ надежность объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться (рис. 1.7.)

Рис. 1.7. Различие кривых ПРО при одинаковой

средней наработке до отказа