Графо-аналитический метод решения задач линейного программирования

Геометрическая интерпретация задач линейного программирования дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачи с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трёхмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трёх, графическое решение невозможно.

Пусть дана задача

, (1)

, (2)

. (3)

Каждое из ограничений (2) и (3) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полуплоскость – выпуклое множество. Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи есть выпуклое множество.

Пусть область допустимых решений – непустое множество, например многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅ (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Схема поиска решения задачи
графо-аналитическим методом

Выберем произвольное значение целевой функции Z = Z₀. Получим с₁х₁ + с₂х₂ = Z₀. Это уравнение прямой линии. В точках прямой NМ целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение Z₀. Считая в равенстве (1) Z параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).

Найдём частные производные целевой функции по х₁ и х₂:

(4), (5).

Частные производные (4) и (5) функции показывают скорость её возрастания вдоль соответствующих осей. Следовательно, с₁ и с₂ – скорости возрастания Z вдоль осей Oх₁ и Oх₂. Вектор с = (с₁, с₂) называется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции:

.

Вектор с указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антиградиентом.

Вектор с = (с₁, с₂) перпендикулярен к прямым Z = const семейства с₁х₁ + с₂х₂ = Z.

Из геометрической интерпретации элементов задачи вытекает общий порядок её графического решения:

1) с учетом системы ограничений строим область допустимых решений;

2) определяем вектор с = (с₁, с₂) наискорейшего возрастания целевой функции, т. е. вектор градиентного направления;

3) проводим произвольную линию уровня Z = Z₀;

4) при решении задачи на максимум перемещаем линию уровня Z = Z₀ в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня Z = Z₀ перемещают в антиградиентном направленииж

5) определяем оптимальное решение х^* = (х₁^*, х₂^*) и экстремальное значение целевой функции Z^* = z(x^*).

Пример. Найти оптимальные значения переменных х₁ и х₂, доставляющих максимум целевой функции

у = х₁ + 2х₂ ® max,

при ограничениях на значения переменных

2х₁ + х₂ £ 10, х₁ + 3х₂ £ 18, х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

Для формирования области допустимых решений ОДР необходимо в системе координат х₁Oх₂ построить линии, соответствующие ограничениям, приравнивая их левые и правые части, и определить направления расположения допустимых значений искомых переменных в соответствии со знаками неравенств (рис. 3.5).

Вычисления для построения первых двух ограничений:

2х₁ + х₂ £ 10 ® 2х₁ + х₂ = 10 Þ х₂ = 10 – 2х₁;

х₁ + 3х₂ £ 18 ® х₁ + 3х₂ = 18 Þ х₂ = (18 – х₁) / 3;

Рис. 3.5. Область допустимых решений задачи

В соответствии с третьим ограничением значения переменной х₁ должны находиться выше оси Ох₂, а в соответствии с четвертым ограничением значения переменной х₂ должны находиться правее оси Ох₁. Следует иметь в виду, что границы ОДР в область допустимых решений входят.

Для окончательного определения оптимальных значений переменных х₁ и х₂ необходимо сначала построить произвольную прямую для целевой функции, приравняв её выражение к любому числу, так, чтобы эта прямая располагалась в пределах выбранного масштаба рисунка. Приравняем выражение целевой функции, например, к числу «16» и построим соответствующую прямую линию.

у = х₁ + 2х₂ ® max; х₁ + 2х₂ = 16 Þ х₂ = (16 – х₁) / 2;

После этого необходимо построить прямую линию, параллельную данной прямой, так, чтобы она коснулась границы ОДР. Координаты точки касания этой прямой с границей ОДР будут оптимальными значениями переменных х_1опт и х_2опт.

Для точного определения координат точки касания линии целевой функции границы ОДР необходимо решить систему, включающую в себя два уравнения: 2х₁ + х₂ = 10 и х₁ + 3х₂ = 18 . При этом максимальное значение целевой функции у_max = х₁ + 2х₂ = 2,4 + 2 × 5,2 = 12,8.