Симплексный метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод – это метод целенаправленного перебора опорных решений задачи ЛП.Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что его не существует. Основное содержание метода состоит в следующем:

1. Указать способ нахождения начального опорного плана.

2. Указать способ перехода от одного опорного плана к другому, на котором значение целевой функции ближе к оптимальному.

3. Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить проверку решений на оптимальность или сделать заключение об отсутствии оптимального решения.

Предположим, что необходимо найти минимум целевой функции при следующей системе ограничений:

(1.14)

Запишем систему (1.14) в векторной форме:

(1.15) , ,…, , , ,..., .

Векторы , ,.., образуют базис в . Поэтому в соотношении (1.15) за базисные переменные принимаем , ,…, , а остальные переменные

(будем называть их свободными) приравниваем нулю. Учитывая, что , получаем, что опорное решение задачи (1.14)имеет вид

Рассмотрим, как, исходя из начального опорного решения, можно построить другое опорное решение, которое будет более близким к оптимальному, т.е. на котором значение целевой функции будет меньше. Систему ограничений (1.14) перепишем в виде:

(1.16)

Выражая значения , ,…, через свободные неизвестные, целевую функцию получим в виде:

. (1.17)

Итак, первоначальный опорный план , а соответствующее значение . Возможны следующие ситуации:

1) все , , …, . Тогда минимум достигается при , т.е. план является оптимальным и ;

2) среди чисел , , …, имеются положительные. Пусть , где одно из чисел , ,..;, . Тогда полагаем все , , …, равными нулю, кроме . Из (1.16) следует, что

(1.18)

и .

Здесь, в свою очередь, могут представиться два случая:

а) все числа , , …, , тогда для любого все значения , ,…, . В этом случае не достигается, так как при функция ;

б) среди чисел , , …, имеются положительные. Пусть, например, . Так как все компоненты плана должны быть положительны, то нельзя увеличивать более, чем ( иначе станет отрицательным ).

Поэтому найдём называется разрешающим элементом.Положим ,…, , , ,…, . Найдём значения остальных неизвестных:

Получено новое опорное решение: .

Значение целевой функции при этом уменьшается:

.

Идея симплекс-метода заключается в том, что на каждом этапе один из векторов выводится из базиса, а вместо него вводится другой . При этом удобно, чтобы он стал бы единичным. Поэтому в системе ограничений -е уравнение, содержащее разрешающий элемент , делим на . Исключаем из всех остальных уравнений, т.е. осуществляем преобразование Жордана-Гаусса.

Итак, алгоритм симплекс-метода состоит в следующем:

1. Приводим систему к виду, содержащему единичных векторов, и определяем первоначальный опорный план.

2. Выражаем через свободные переменные в виде:

.

Если при этом все коэффициенты , ,.., не являются положительными, то найденный первоначальный план является оптимальным.

3. Пусть среди чисел , ,.., имеются положительные. Берём любой из них, например, , и просматриваем весь соответствующий столбец . Он называется разрешающим столбцом. Если все числа этого столбца отрицательны, то Задача решения не имеет.

4. Если в этом столбце есть положительные числа, то находим разрешающий элемент– это элемент, для которого отношение минимально. Пусть это элемент .

5. Выводим переменную из числа свободных и меняем её с базисной переменной .

6. Эту процедуру выполняем до тех пор, пока все коэффициенты при свободных неизвестных станут неположительными, (это признак оптимальности плана) либо неположительными станут все элементы в разрешающем столбце ( т.е. ).

Замечание 1. На практике этот алгоритм реализуется с помощью симплекс-таблиц (см. пример 1.2.).

Замечание 2. При построении симплекс-таблиц можно рассуждать иначе. Пусть решаем ЗЛП в виде

,

В этом случае общая схема симплекс-метода претерпевает некоторые изменения. А именно:

1) Пусть дан базис некоторого опорного решения и соответствующая ему симплекс-таблица. В верхней строке этой таблицы (см. пример 1.2., заголовки столбцов) располагаются свободные переменные, в крайнем левом столбце – базисные переменные; крайний правый столбец – это столбец свободных членов, а самая нижняя строка является строкой целевой функции и называется вектором относительных оценок. Остальное содержимое таблицы - столбцы матрицы ограничений, отвечающие соответствующим столбцам свободных переменных. Координаты вектора относительных оценок (D₁, D₂,… D_n) находят по правилу: для нахождения коэффициента D_k вектор из коэффициентов при базисных переменных в целевой функции скалярно умножить на k-й столбец симплекс-таблицы и вычесть из найденного числа коэффициент целевой функции при соответствующем свободном переменном x_k.

2) Если все относительные оценки (нижняя строка этой таблицы) неотрицательны, то построено оптимальное опорное решение.

3) Если существует отрицательная оценка и соответствующий ей столбец (разрешающий) состоит из неположительных элементов, то имеет место неразрешимость целевой функции Z(X), то есть max Z(X) ®+¥.

4) Иначе, выбрать ведущий элемент (задаёт ведущую строку) и сделать с ним шаг жордановых исключений, перейдя к новой симплекс-таблице, которую проанализировать как в пункте 2).

Пример 1.2.Предприятие, выпускающее продукцию на экспорт, располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов и амортизация оборудования за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства заданы в таблице (в ден. ед.).

Производственный ресурс	Расход ресурсов за 1 месяц и общий ресурс при работе	Общий ресурс
по 1 способу	по 2 способу
Сырье
Оборудование
Электроэнергия

При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий, при втором – 4 тыс. изделий.

Сколько месяцев должно проработать предприятие по каждому из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

Решение. Обозначим:

- время работы предприятия по первому способу;

- время работы предприятия по второму способу.

Математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Приведем задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

Принимаем , в качестве свободных переменных, , , в качестве базисных. Составляем симплекс-таблицу (в сокращённой форме), соответствующую начальному опорному плану. Обратим внимание, что коэффициенты при свободных переменных пишутся с противоположным знаком.

	-3	-4

Начальный опорный план имеет вид:

В последней строке имеются две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве ведущего столбца следует принять столбец базисной переменной , а за ведущую строку – строку переменной , где .

Теперь запишем правила перехода к новой симплекс-таблице, соответствующие приведённому выше алгоритму симплекс-метода:

1. Базисная переменная, находящаяся в ведущей строке, и свободная переменная, находящаяся в ведущем столбце, меняются местами.

2. Ведущий элемент заменяется величиной, ему обратной.

3. Все элементы ведущей строки (включая свободный член), кроме ведущего элемента, заменяются их отношениями к ведущему элементу.

4. Все элементы ведущего столбца (кроме ведущего элемента) заменяются взятыми с обратными знаками их отношениями к ведущему элементу.

5. Остальные элементы заменяются по «правилу 4 элементов»: любой такой элемент умножается на ведущий и из произведения вычитается произведение двух других элементов, составляющих с первыми вершины прямоугольника, после чего результат делится на ведущий элемент.

Ведущим элементом является «2». Вводим в столбец БП переменную , выводим . Составляем симплексную таблицу второго шага:

	1/2	1/2
	1/2	-1/2
	3/2	-1/2
	-1

В последней строке имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ведущим элементом является «1/2». Составляем симплекс таблицу третьего шага:

	-1
		-1
	-3

Все оценки свободных переменных положительны, следовательно, найденное опорное решение является оптимальным:

Ответ. Максимальный выпуск продукции составит 10 тыс. ед., при этом по первому способу предприятие должно работать два месяца, по второму – один месяц.